График функции y = 2*10^-4*((Abs(x+sqrt((|x|)))))^(1/3)

                 _______________
              3 / |      _____| 
f(x) = 0.0002*\/  |x + \/ |x| | 

$$f{\left (x \right )} = 0.0002 \sqrt[3]{\left|{x + \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$0.0002 \sqrt[3]{\left|{x + \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 0.0002*Abs(x + sqrt(|x|))^(1/3).
$$0.0002 \sqrt[3]{\left|{\sqrt{\left|{0}\right|}}\right|}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{6.66666666666667 \cdot 10^{-5}}{\left|{x + \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|^{\frac{2}{3}}} \left(1 + \frac{\operatorname{sign}{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\left|{x}\right|}}\right) \operatorname{sign}{\left (x + \overline{\sqrt{\left|{x}\right|}} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -0.25$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(-0.25, 0.000125992104989487)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -0.25$$
Убывает на промежутках

(-oo, -0.25] U [0, oo)

Возрастает на промежутках

[-0.25, 0]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(0.0002 \sqrt[3]{\left|{x + \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(0.0002 \sqrt[3]{\left|{x + \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 0.0002*Abs(x + sqrt(|x|))^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{0.0002}{x} \sqrt[3]{\left|{x + \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{0.0002}{x} \sqrt[3]{\left|{x + \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$0.0002 \sqrt[3]{\left|{x + \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|} = 0.0002 \sqrt[3]{\left|{x - \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|}$$
- Нет
$$0.0002 \sqrt[3]{\left|{x + \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|} = - 0.0002 \sqrt[3]{\left|{x - \sqrt{\left|{x}\right|}}\right|}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной