График функции y = 2*x^5+5*x^3-10*x

Вы ввели

          5      3       
f(x) = 2*x  + 5*x  - 10*x

$$f{\left (x \right )} = - 10 x + 2 x^{5} + 5 x^{3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 10 x + 2 x^{5} + 5 x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{- \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{105}}{4}}$$
$$x_{3} = \sqrt{- \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{105}}{4}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.14531117671$$
$$x_{3} = 1.14531117671$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^5 + 5*x^3 - 10*x.
$$2 \cdot 0^{5} + 5 \cdot 0^{3} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$10 x^{4} + 15 x^{2} - 10 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ___       ___ 
 -\/ 2    7*\/ 2  
(-------, -------)
    2        2    

   ___       ___ 
 \/ 2   -7*\/ 2  
(-----, --------)
   2       2     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(2)/2] U [sqrt(2)/2, oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$10 x \left(4 x^{2} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 10 x + 2 x^{5} + 5 x^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 10 x + 2 x^{5} + 5 x^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^5 + 5*x^3 - 10*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 10 x + 2 x^{5} + 5 x^{3}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 10 x + 2 x^{5} + 5 x^{3}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 10 x + 2 x^{5} + 5 x^{3} = - 2 x^{5} - 5 x^{3} + 10 x$$
- Нет
$$- 10 x + 2 x^{5} + 5 x^{3} = - -1 \cdot 2 x^{5} - - 5 x^{3} - 10 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной