График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: −10x+2x5+5x3=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 x2=−−45+4105 x3=−45+4105 Численное решение x1=0 x2=−1.14531117671 x3=1.14531117671
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 2*x^5 + 5*x^3 - 10*x. 2⋅05+5⋅03−0 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная 10x4+15x2−10=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−22 x2=22 Зн. экстремумы в точках:
___ ___
-\/ 2 7*\/ 2
(-------, -------)
2 2
___ ___
\/ 2 -7*\/ 2
(-----, --------)
2 2
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=22 Максимумы функции в точках: x2=−22 Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(2)/2] U [sqrt(2)/2, oo)
Возрастает на промежутках
[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 10x(4x2+3)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[0, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 0]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(−10x+2x5+5x3)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(−10x+2x5+5x3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^5 + 5*x^3 - 10*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(−10x+2x5+5x3))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x1(−10x+2x5+5x3))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: −10x+2x5+5x3=−2x5−5x3+10x - Нет −10x+2x5+5x3=−−1⋅2x5−−5x3−10x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной