График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: e−4xx3=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 Численное решение x1=0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^3*E^(-4*x). 03e−0 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная −4x3e−4x+3x2e−4x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=43 Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
-3
27*e
(3/4, ------)
64
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: x2=43 Убывает на промежутках
(-oo, 3/4]
Возрастает на промежутках
[3/4, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 2x(8x2−12x+3)e−4x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=−43+43 x3=43+43
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[0, -sqrt(3)/4 + 3/4] U [sqrt(3)/4 + 3/4, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [-sqrt(3)/4 + 3/4, sqrt(3)/4 + 3/4]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(e−4xx3)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(e−4xx3)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3*E^(-4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x2e−4x)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x2e−4x)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: e−4xx3=−x3e4x - Нет e−4xx3=−−1x3e4x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной