График функции y = x^3*(e^(-4*x))

Вы ввели

        3  -4*x
f(x) = x *E    

$$f{\left (x \right )} = e^{- 4 x} x^{3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- 4 x} x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3*E^(-4*x).
$$0^{3} e^{- 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

          -3 
      27*e   
(3/4, ------)
        64   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3/4]

Возрастает на промежутках

[3/4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$2 x \left(8 x^{2} - 12 x + 3\right) e^{- 4 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, -sqrt(3)/4 + 3/4] U [sqrt(3)/4 + 3/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0] U [-sqrt(3)/4 + 3/4, sqrt(3)/4 + 3/4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- 4 x} x^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- 4 x} x^{3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3*E^(-4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} e^{- 4 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} e^{- 4 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- 4 x} x^{3} = - x^{3} e^{4 x}$$
- Нет
$$e^{- 4 x} x^{3} = - -1 x^{3} e^{4 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной