График функции y = x^3*(e^(-4*x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3  -4*x
f(x) = x *E    
f(x)=e4xx3f{\left (x \right )} = e^{- 4 x} x^{3}
График функции
012345678910-2010
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
e4xx3=0e^{- 4 x} x^{3} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3*E^(-4*x).
03e00^{3} e^{- 0}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
4x3e4x+3x2e4x=0- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=34x_{2} = \frac{3}{4}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

          -3 
      27*e   
(3/4, ------)
        64   


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x2=34x_{2} = \frac{3}{4}
Убывает на промежутках
(-oo, 3/4]

Возрастает на промежутках
[3/4, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2x(8x212x+3)e4x=02 x \left(8 x^{2} - 12 x + 3\right) e^{- 4 x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=34+34x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}
x3=34+34x_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, -sqrt(3)/4 + 3/4] U [sqrt(3)/4 + 3/4, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [-sqrt(3)/4 + 3/4, sqrt(3)/4 + 3/4]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(e4xx3)=\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- 4 x} x^{3}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(e4xx3)=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- 4 x} x^{3}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3*E^(-4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x2e4x)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} e^{- 4 x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x2e4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} e^{- 4 x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
e4xx3=x3e4xe^{- 4 x} x^{3} = - x^{3} e^{4 x}
- Нет
e4xx3=1x3e4xe^{- 4 x} x^{3} = - -1 x^{3} e^{4 x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной