График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 3x3−2x2=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 x2=32 Численное решение x1=0 x2=0.666666666667
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 3*x^3 - 2*x^2. 3⋅03−0 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная 9x2−4x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=94 Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
-32
(4/9, ----)
243
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=94 Максимумы функции в точках: x2=0 Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [4/9, oo)
Возрастает на промежутках
[0, 4/9]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 2(9x−2)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=92
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[2/9, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 2/9]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(3x3−2x2)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(3x3−2x2)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*x^3 - 2*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(3x3−2x2))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x1(3x3−2x2))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 3x3−2x2=−3x3−2x2 - Нет 3x3−2x2=−−1⋅3x3−−2x2 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной