График функции y = log((2*x-1)/(x+1))

Вы ввели

          /2*x - 1\
f(x) = log|-------|
          \ x + 1 /

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{2 x - 1}{x + 1} \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\frac{2 x - 1}{x + 1} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log((2*x - 1)/(x + 1)).

   /2*0 - 1\
log|-------|
   \   1   /

Результат:
$$f{\left (0 \right )} = i \pi$$
Точка:

(0, pi*i)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{1}{2 x - 1} \left(x + 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{2 x - 1} \left(2 - \frac{2 x - 1}{x + 1}\right) \left(- \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{1}{2 x - 1} \left(2 - \frac{2 x - 1}{x + 1}\right) \left(- \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{1}{2 x - 1} \left(2 - \frac{2 x - 1}{x + 1}\right) \left(- \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1/4]

Выпуклая на промежутках

[-1/4, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\frac{2 x - 1}{x + 1} \right )} = \log{\left (2 \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (2 \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\frac{2 x - 1}{x + 1} \right )} = \log{\left (2 \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (2 \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log((2*x - 1)/(x + 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\frac{2 x - 1}{x + 1} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\frac{2 x - 1}{x + 1} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\frac{2 x - 1}{x + 1} \right )} = \log{\left (\frac{- 2 x - 1}{- x + 1} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\frac{2 x - 1}{x + 1} \right )} = - \log{\left (\frac{- 2 x - 1}{- x + 1} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной