График функции y = x^2-200*x+1

        2            
f(x) = x  - 200*x + 1

$$f{\left (x \right )} = x^{2} - 200 x + 1$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} - 200 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - 3 \sqrt{1111} + 100$$
$$x_{2} = 3 \sqrt{1111} + 100$$
Численное решение
$$x_{1} = 199.994999875$$
$$x_{2} = 0.00500012500625$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 - 200*x + 1.
$$0^{2} - 0 + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x - 200 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 100$$
Зн. экстремумы в точках:

(100, -9999)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - 200 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 200 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 200*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} - 200 x + 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} - 200 x + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} - 200 x + 1 = x^{2} + 200 x + 1$$
- Нет
$$x^{2} - 200 x + 1 = - x^{2} - 200 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной