График функции y = x^3-3*x^2+3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3      2    
f(x) = x  - 3*x  + 3
f(x)=x33x2+3f{\left(x \right)} = x^{3} - 3 x^{2} + 3
График функции
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x33x2+3=0x^{3} - 3 x^{2} + 3 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1272+273i2333272+273i23x_{1} = 1 - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}
Численное решение
x1=1.34729635533386x_{1} = 1.34729635533386
x2=2.53208888623796x_{2} = 2.53208888623796
x3=0.879385241571817x_{3} = -0.879385241571817
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 3*x^2 + 3.
03302+30^{3} - 3 \cdot 0^{2} + 3
Результат:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Точка:
(0, 3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
3x26x=03 x^{2} - 6 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(0, 3)

(2, -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=2x_{1} = 2
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(,0][2,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[0,2]\left[0, 2\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
6(x1)=06 \left(x - 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = 1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1,)\left[1, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,1]\left(-\infty, 1\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x33x2+3)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 3 x^{2} + 3\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x33x2+3)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 3 x^{2} + 3\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x^2 + 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x33x2+3x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x33x2+3x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x33x2+3=x33x2+3x^{3} - 3 x^{2} + 3 = - x^{3} - 3 x^{2} + 3
- Нет
x33x2+3=x3+3x23x^{3} - 3 x^{2} + 3 = x^{3} + 3 x^{2} - 3
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^3-3*x^2+3 /media/krcore-image-pods/hash/xy/9/d2/f59205ff26f6a32aa4e23621e1fda.png