График функции y = (3*x-4)/(x-2)

Вы ввели

       3*x - 4
f(x) = -------
        x - 2 

$$f{\left (x \right )} = \frac{3 x - 4}{x - 2}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{3 x - 4}{x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.33333333333$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (3*x - 4)/(x - 2).
$$\frac{1}{-2} \left(-4 + 0 \cdot 3\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3}{x - 2} - \frac{3 x - 4}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(-6 + \frac{6 x - 8}{x - 2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - 4}{x - 2}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - 4}{x - 2}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 3$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3*x - 4)/(x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - 4}{x \left(x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - 4}{x \left(x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{3 x - 4}{x - 2} = \frac{- 3 x - 4}{- x - 2}$$
- Нет
$$\frac{3 x - 4}{x - 2} = - \frac{- 3 x - 4}{- x - 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной