Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2−5∣x∣+6=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=−3
x2=−2
x3=2
x4=3
Численное решение
x1=−3
x2=3
x3=2
x4=−2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 - 5*|x| + 6.
02−5∣0∣+6
Результат:
f(0)=6
Точка:
(0, 6)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
первая производная
2x−5sign(x)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=25
Зн. экстремумы в точках:
(5/2, -1/4)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=25
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[25,∞)
Возрастает на промежутках
(−∞,25]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
вторая производная
2⋅(1−5δ(x))=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(x2−5∣x∣+6)=∞
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
x→∞lim(x2−5∣x∣+6)=∞
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 5*|x| + 6, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(xx2−5∣x∣+6)=−∞
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
x→∞lim(xx2−5∣x∣+6)=∞
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2−5∣x∣+6=x2−5∣x∣+6
- Да
x2−5∣x∣+6=−x2+5∣x∣−6
- Нет
значит, функция
является
чётной