График функции y = (x+1)^(4/3)+1

Вы ввели

              4/3    
f(x) = (x + 1)    + 1

$$f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)^(4/3) + 1.
$$\left(0 + 1\right)^{\frac{4}{3}} + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{4 \sqrt[3]{x + 1}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{4}{9 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} + 1\right) = - \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)^(4/3) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} + 1}{x}\right) = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} + 1 = \left(1 - x\right)^{\frac{4}{3}} + 1$$
- Нет
$$\left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} + 1 = - \left(1 - x\right)^{\frac{4}{3}} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График