График функции y = (sin(x))^6+(cos(x))^6

Вы ввели

          6         6   
f(x) = sin (x) + cos (x)

$$f{\left (x \right )} = \sin^{6}{\left (x \right )} + \cos^{6}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^6 + cos(x)^6.
$$\sin^{6}{\left (0 \right )} + \cos^{6}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 \sin^{5}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 6 \sin{\left (x \right )} \cos^{5}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 -3*pi      
(-----, 1/4)
   4        

 -pi     
(----, 1)
  2      

 -pi       
(----, 1/4)
  4        

 pi      
(--, 1/4)
 4       

 pi    
(--, 1)
 2     

 3*pi      
(----, 1/4)
  4        

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{7} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{7} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{7} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{7} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{7} = 0$$
$$x_{7} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[3*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -3*pi/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(- \sin^{6}{\left (x \right )} + 5 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + 5 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} - \cos^{6}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (-1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \sqrt{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (-1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \sqrt{2} \right )}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right )}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right )}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right )}$$
$$x_{7} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right )}$$
$$x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2*atan(-1 + sqrt(2)*sqrt(-sqrt(2) + 2) + sqrt(2)), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(1 + sqrt(2) + sqrt(2)*sqrt(sqrt(2) + 2))]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{6}{\left (x \right )} + \cos^{6}{\left (x \right )}\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{6}{\left (x \right )} + \cos^{6}{\left (x \right )}\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^6 + cos(x)^6, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{6}{\left (x \right )} + \cos^{6}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{6}{\left (x \right )} + \cos^{6}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{6}{\left (x \right )} + \cos^{6}{\left (x \right )} = \sin^{6}{\left (x \right )} + \cos^{6}{\left (x \right )}$$
- Да
$$\sin^{6}{\left (x \right )} + \cos^{6}{\left (x \right )} = - \sin^{6}{\left (x \right )} - \cos^{6}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной