График функции y = 4-atan(x^2)

               / 2\
f(x) = 4 - atan\x /

$$f{\left (x \right )} = - \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} + 4$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4 - atan(x^2).
$$- \operatorname{atan}{\left (0^{2} \right )} + 4$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\frac{8 x^{4}}{x^{4} + 1} - 2}{x^{4} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -3**(3/4)/3] U [3**(3/4)/3, oo)

Выпуклая на промежутках

[-3**(3/4)/3, 3**(3/4)/3]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} + 4\right) = - \frac{\pi}{2} + 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \frac{\pi}{2} + 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} + 4\right) = - \frac{\pi}{2} + 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \frac{\pi}{2} + 4$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4 - atan(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} + 4\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} + 4\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} + 4 = - \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} + 4$$
- Да
$$- \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} + 4 = - -1 \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} - 4$$
- Нет
значит, функция
является
чётной