График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 6x+−4x3+x2+8=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=121+144314420733+1728183773+314420733+17281837 Численное решение x1=1.75457180148
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^2 - 4*x^3 + 6*x + 8. 02−0+0⋅6+8 Результат: f(0)=8 Точка:
(0, 8)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная −12x2+2x+6=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=121+1273 x2=−1273+121 Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=−1273+121 Максимумы функции в точках: x2=121+1273 Убывает на промежутках
[-sqrt(73)/12 + 1/12, 1/12 + sqrt(73)/12]
Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(73)/12 + 1/12] U [1/12 + sqrt(73)/12, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 2(−12x+1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=121
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, 1/12]
Выпуклая на промежутках
[1/12, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(6x+−4x3+x2+8)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(6x+−4x3+x2+8)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 4*x^3 + 6*x + 8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(6x+−4x3+x2+8))=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x1(6x+−4x3+x2+8))=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 6x+−4x3+x2+8=4x3+x2−6x+8 - Нет 6x+−4x3+x2+8=−4x3−x2−−6x−8 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной