График функции y = x^2-4*x^3+6*x+8

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2      3          
f(x) = x  - 4*x  + 6*x + 8
f(x)=6x+4x3+x2+8f{\left (x \right )} = 6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8
График функции
-1.0-0.50.00.51.01.52.0-5050
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
6x+4x3+x2+8=06 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=112+7314420733144+183717283+20733144+183717283x_{1} = \frac{1}{12} + \frac{73}{144 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{20733}}{144} + \frac{1837}{1728}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{20733}}{144} + \frac{1837}{1728}}
Численное решение
x1=1.75457180148x_{1} = 1.75457180148
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 - 4*x^3 + 6*x + 8.
020+06+80^{2} - 0 + 0 \cdot 6 + 8
Результат:
f(0)=8f{\left (0 \right )} = 8
Точка:
(0, 8)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
12x2+2x+6=0- 12 x^{2} + 2 x + 6 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=112+7312x_{1} = \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{73}}{12}
x2=7312+112x_{2} = - \frac{\sqrt{73}}{12} + \frac{1}{12}
Зн. экстремумы в точках:
                                2                           3 
        ____       /       ____\      ____     /       ____\  
 1    \/ 73   17   |1    \/ 73 |    \/ 73      |1    \/ 73 |  
(-- + ------, -- + |-- + ------|  + ------ - 4*|-- + ------| )
 12     12    2    \12     12  /      2        \12     12  /  

                                2                  3          
        ____       /       ____\      /       ____\      ____ 
 1    \/ 73   17   |1    \/ 73 |      |1    \/ 73 |    \/ 73  
(-- - ------, -- + |-- - ------|  - 4*|-- - ------|  - ------)
 12     12    2    \12     12  /      \12     12  /      2    


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=7312+112x_{2} = - \frac{\sqrt{73}}{12} + \frac{1}{12}
Максимумы функции в точках:
x2=112+7312x_{2} = \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{73}}{12}
Убывает на промежутках
[-sqrt(73)/12 + 1/12, 1/12 + sqrt(73)/12]

Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(73)/12 + 1/12] U [1/12 + sqrt(73)/12, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(12x+1)=02 \left(- 12 x + 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=112x_{1} = \frac{1}{12}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 1/12]

Выпуклая на промежутках
[1/12, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(6x+4x3+x2+8)=\lim_{x \to -\infty}\left(6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(6x+4x3+x2+8)=\lim_{x \to \infty}\left(6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 4*x^3 + 6*x + 8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(6x+4x3+x2+8))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(6x+4x3+x2+8))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
6x+4x3+x2+8=4x3+x26x+86 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8 = 4 x^{3} + x^{2} - 6 x + 8
- Нет
6x+4x3+x2+8=4x3x26x86 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8 = - 4 x^{3} - x^{2} - - 6 x - 8
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной