График функции y = x^2-4*x^3+6*x+8

Вы ввели

        2      3          
f(x) = x  - 4*x  + 6*x + 8

$$f{\left (x \right )} = 6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{12} + \frac{73}{144 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{20733}}{144} + \frac{1837}{1728}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{20733}}{144} + \frac{1837}{1728}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.75457180148$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 - 4*x^3 + 6*x + 8.
$$0^{2} - 0 + 0 \cdot 6 + 8$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 8$$
Точка:

(0, 8)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- 12 x^{2} + 2 x + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{73}}{12}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{73}}{12} + \frac{1}{12}$$
Зн. экстремумы в точках:

                                2                           3 
        ____       /       ____\      ____     /       ____\  
 1    \/ 73   17   |1    \/ 73 |    \/ 73      |1    \/ 73 |  
(-- + ------, -- + |-- + ------|  + ------ - 4*|-- + ------| )
 12     12    2    \12     12  /      2        \12     12  /  

                                2                  3          
        ____       /       ____\      /       ____\      ____ 
 1    \/ 73   17   |1    \/ 73 |      |1    \/ 73 |    \/ 73  
(-- - ------, -- + |-- - ------|  - 4*|-- - ------|  - ------)
 12     12    2    \12     12  /      \12     12  /      2    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{73}}{12} + \frac{1}{12}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{73}}{12}$$
Убывает на промежутках

[-sqrt(73)/12 + 1/12, 1/12 + sqrt(73)/12]

Возрастает на промежутках

(-oo, -sqrt(73)/12 + 1/12] U [1/12 + sqrt(73)/12, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$2 \left(- 12 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{12}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 1/12]

Выпуклая на промежутках

[1/12, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 4*x^3 + 6*x + 8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8 = 4 x^{3} + x^{2} - 6 x + 8$$
- Нет
$$6 x + - 4 x^{3} + x^{2} + 8 = - 4 x^{3} - x^{2} - - 6 x - 8$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной