График функции y = cos(x)+sin(x)+cos(3*x)+sin(3*x)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = cos(x) + sin(x) + cos(3*x) + sin(3*x)
$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left (- \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} - \frac{i}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right )}$$
$$x_{4} = - i \log{\left (\frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{i}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right )}$$
$$x_{5} = - i \log{\left (- \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{i}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right )}$$
$$x_{6} = - i \log{\left (\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} - \frac{i}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 93.855080526$$
$$x_{2} = -95.8185759345$$
$$x_{3} = 65.5807466437$$
$$x_{4} = -47.5165888855$$
$$x_{5} = -61.6537558267$$
$$x_{6} = -91.4988860358$$
$$x_{7} = 1.1780972451$$
$$x_{8} = -82.074108075$$
$$x_{9} = 100.138265833$$
$$x_{10} = -42.8041999052$$
$$x_{11} = 36.1283155163$$
$$x_{12} = -55.3705705195$$
$$x_{13} = 27.8816348006$$
$$x_{14} = 80.1106126665$$
$$x_{15} = 26.3108384738$$
$$x_{16} = 71.8639319509$$
$$x_{17} = 42.0188017418$$
$$x_{18} = 51.8362787842$$
$$x_{19} = -44.374996232$$
$$x_{20} = 87.5718952188$$
$$x_{21} = 4.31968989869$$
$$x_{22} = 14.1371669412$$
$$x_{23} = -25.5254403104$$
$$x_{24} = 76.5763209313$$
$$x_{25} = -3.53429173529$$
$$x_{26} = -51.8362787842$$
$$x_{27} = -45.9457925588$$
$$x_{28} = -7.85398163397$$
$$x_{29} = 56.1559686829$$
$$x_{30} = 29.8451302091$$
$$x_{31} = 42.4115008235$$
$$x_{32} = 32.594023781$$
$$x_{33} = -75.7909227679$$
$$x_{34} = -86.7864970554$$
$$x_{35} = -80.1106126665$$
$$x_{36} = -58.1194640914$$
$$x_{37} = -31.8086256176$$
$$x_{38} = -83.6449044018$$
$$x_{39} = 21.5984494934$$
$$x_{40} = -53.7997741927$$
$$x_{41} = -71.0785337875$$
$$x_{42} = 34.1648201078$$
$$x_{43} = 5.89048622548$$
$$x_{44} = 26.7035375555$$
$$x_{45} = -97.782071343$$
$$x_{46} = 98.5674695064$$
$$x_{47} = -88.3572933822$$
$$x_{48} = -16.1006623496$$
$$x_{49} = -9.81747704247$$
$$x_{50} = 49.8727833757$$
$$x_{51} = 70.2931356241$$
$$x_{52} = -1.57079632679$$
$$x_{53} = 92.2842841992$$
$$x_{54} = -33.3794219444$$
$$x_{55} = -67.9369411339$$
$$x_{56} = -99.3528676698$$
$$x_{57} = 40.448005415$$
$$x_{58} = -89.928089709$$
$$x_{59} = -64.7953484803$$
$$x_{60} = 78.147117258$$
$$x_{61} = -1.96349540849$$
$$x_{62} = -77.3617190946$$
$$x_{63} = -14.1371669412$$
$$x_{64} = 7.85398163397$$
$$x_{65} = -73.8274273594$$
$$x_{66} = 86.001098892$$
$$x_{67} = -0.392699081699$$
$$x_{68} = 84.4303025652$$
$$x_{69} = -38.0918109248$$
$$x_{70} = -11.3882733693$$
$$x_{71} = -1198.91029643$$
$$x_{72} = -29.8451302091$$
$$x_{73} = -69.5077374607$$
$$x_{74} = -23.9546439836$$
$$x_{75} = -60.0829594999$$
$$x_{76} = 43.5895980686$$
$$x_{77} = -39.6626072516$$
$$x_{78} = 58.1194640914$$
$$x_{79} = 95.8185759345$$
$$x_{80} = -36.1283155163$$
$$x_{81} = -20.81305133$$
$$x_{82} = 73.8274273594$$
$$x_{83} = -66.3661448071$$
$$x_{84} = 10.6028752059$$
$$x_{85} = 23.1692458202$$
$$x_{86} = 48.3019870489$$
$$x_{87} = 54.5851723561$$
$$x_{88} = 20.0276531666$$
$$x_{89} = -17.6714586764$$
$$x_{90} = -22.3838476568$$
$$x_{91} = 64.0099503169$$
$$x_{92} = 62.4391539901$$
$$x_{93} = 12.1736715327$$
$$x_{94} = 18.4568568398$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left (- \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} - \frac{i}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right )}$$
$$x_{4} = - i \log{\left (\frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{i}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right )}$$
$$x_{5} = - i \log{\left (- \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{i}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right )}$$
$$x_{6} = - i \log{\left (\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} - \frac{i}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 93.855080526$$
$$x_{2} = -95.8185759345$$
$$x_{3} = 65.5807466437$$
$$x_{4} = -47.5165888855$$
$$x_{5} = -61.6537558267$$
$$x_{6} = -91.4988860358$$
$$x_{7} = 1.1780972451$$
$$x_{8} = -82.074108075$$
$$x_{9} = 100.138265833$$
$$x_{10} = -42.8041999052$$
$$x_{11} = 36.1283155163$$
$$x_{12} = -55.3705705195$$
$$x_{13} = 27.8816348006$$
$$x_{14} = 80.1106126665$$
$$x_{15} = 26.3108384738$$
$$x_{16} = 71.8639319509$$
$$x_{17} = 42.0188017418$$
$$x_{18} = 51.8362787842$$
$$x_{19} = -44.374996232$$
$$x_{20} = 87.5718952188$$
$$x_{21} = 4.31968989869$$
$$x_{22} = 14.1371669412$$
$$x_{23} = -25.5254403104$$
$$x_{24} = 76.5763209313$$
$$x_{25} = -3.53429173529$$
$$x_{26} = -51.8362787842$$
$$x_{27} = -45.9457925588$$
$$x_{28} = -7.85398163397$$
$$x_{29} = 56.1559686829$$
$$x_{30} = 29.8451302091$$
$$x_{31} = 42.4115008235$$
$$x_{32} = 32.594023781$$
$$x_{33} = -75.7909227679$$
$$x_{34} = -86.7864970554$$
$$x_{35} = -80.1106126665$$
$$x_{36} = -58.1194640914$$
$$x_{37} = -31.8086256176$$
$$x_{38} = -83.6449044018$$
$$x_{39} = 21.5984494934$$
$$x_{40} = -53.7997741927$$
$$x_{41} = -71.0785337875$$
$$x_{42} = 34.1648201078$$
$$x_{43} = 5.89048622548$$
$$x_{44} = 26.7035375555$$
$$x_{45} = -97.782071343$$
$$x_{46} = 98.5674695064$$
$$x_{47} = -88.3572933822$$
$$x_{48} = -16.1006623496$$
$$x_{49} = -9.81747704247$$
$$x_{50} = 49.8727833757$$
$$x_{51} = 70.2931356241$$
$$x_{52} = -1.57079632679$$
$$x_{53} = 92.2842841992$$
$$x_{54} = -33.3794219444$$
$$x_{55} = -67.9369411339$$
$$x_{56} = -99.3528676698$$
$$x_{57} = 40.448005415$$
$$x_{58} = -89.928089709$$
$$x_{59} = -64.7953484803$$
$$x_{60} = 78.147117258$$
$$x_{61} = -1.96349540849$$
$$x_{62} = -77.3617190946$$
$$x_{63} = -14.1371669412$$
$$x_{64} = 7.85398163397$$
$$x_{65} = -73.8274273594$$
$$x_{66} = 86.001098892$$
$$x_{67} = -0.392699081699$$
$$x_{68} = 84.4303025652$$
$$x_{69} = -38.0918109248$$
$$x_{70} = -11.3882733693$$
$$x_{71} = -1198.91029643$$
$$x_{72} = -29.8451302091$$
$$x_{73} = -69.5077374607$$
$$x_{74} = -23.9546439836$$
$$x_{75} = -60.0829594999$$
$$x_{76} = 43.5895980686$$
$$x_{77} = -39.6626072516$$
$$x_{78} = 58.1194640914$$
$$x_{79} = 95.8185759345$$
$$x_{80} = -36.1283155163$$
$$x_{81} = -20.81305133$$
$$x_{82} = 73.8274273594$$
$$x_{83} = -66.3661448071$$
$$x_{84} = 10.6028752059$$
$$x_{85} = 23.1692458202$$
$$x_{86} = 48.3019870489$$
$$x_{87} = 54.5851723561$$
$$x_{88} = 20.0276531666$$
$$x_{89} = -17.6714586764$$
$$x_{90} = -22.3838476568$$
$$x_{91} = 64.0099503169$$
$$x_{92} = 62.4391539901$$
$$x_{93} = 12.1736715327$$
$$x_{94} = 18.4568568398$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (x \right )} - 3 \sin{\left (3 x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (x \right )} - 3 \sin{\left (3 x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \sin{\left (x \right )} + 9 \sin{\left (3 x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 9 \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \sin{\left (x \right )} + 9 \sin{\left (3 x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 9 \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right) = \langle -4, 4\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -4, 4\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right) = \langle -4, 4\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -4, 4\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right) = \langle -4, 4\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -4, 4\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right) = \langle -4, 4\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -4, 4\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + sin(x) + cos(3*x) + sin(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} = - \sin{\left (x \right )} - \sin{\left (3 x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} = - -1 \sin{\left (x \right )} - - \sin{\left (3 x \right )} - \cos{\left (x \right )} - \cos{\left (3 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} = - \sin{\left (x \right )} - \sin{\left (3 x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} = - -1 \sin{\left (x \right )} - - \sin{\left (3 x \right )} - \cos{\left (x \right )} - \cos{\left (3 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной