График функции y = cos(x)+sin(x)+cos(3*x)+sin(3*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = cos(x) + sin(x) + cos(3*x) + sin(3*x)
f(x)=sin(x)+cos(x)+cos(3x)+sin(3x)f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}
График функции
0-2000-1500-1000-5005001000150020005-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin(x)+cos(x)+cos(3x)+sin(3x)=0\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=ilog(122+2i22+2)x_{3} = - i \log{\left (- \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} - \frac{i}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right )}
x4=ilog(122+2+i22+2)x_{4} = - i \log{\left (\frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{i}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right )}
x5=ilog(122+2+i22+2)x_{5} = - i \log{\left (- \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{i}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right )}
x6=ilog(122+2i22+2)x_{6} = - i \log{\left (\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} - \frac{i}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right )}
Численное решение
x1=93.855080526x_{1} = 93.855080526
x2=95.8185759345x_{2} = -95.8185759345
x3=65.5807466437x_{3} = 65.5807466437
x4=47.5165888855x_{4} = -47.5165888855
x5=61.6537558267x_{5} = -61.6537558267
x6=91.4988860358x_{6} = -91.4988860358
x7=1.1780972451x_{7} = 1.1780972451
x8=82.074108075x_{8} = -82.074108075
x9=100.138265833x_{9} = 100.138265833
x10=42.8041999052x_{10} = -42.8041999052
x11=36.1283155163x_{11} = 36.1283155163
x12=55.3705705195x_{12} = -55.3705705195
x13=27.8816348006x_{13} = 27.8816348006
x14=80.1106126665x_{14} = 80.1106126665
x15=26.3108384738x_{15} = 26.3108384738
x16=71.8639319509x_{16} = 71.8639319509
x17=42.0188017418x_{17} = 42.0188017418
x18=51.8362787842x_{18} = 51.8362787842
x19=44.374996232x_{19} = -44.374996232
x20=87.5718952188x_{20} = 87.5718952188
x21=4.31968989869x_{21} = 4.31968989869
x22=14.1371669412x_{22} = 14.1371669412
x23=25.5254403104x_{23} = -25.5254403104
x24=76.5763209313x_{24} = 76.5763209313
x25=3.53429173529x_{25} = -3.53429173529
x26=51.8362787842x_{26} = -51.8362787842
x27=45.9457925588x_{27} = -45.9457925588
x28=7.85398163397x_{28} = -7.85398163397
x29=56.1559686829x_{29} = 56.1559686829
x30=29.8451302091x_{30} = 29.8451302091
x31=42.4115008235x_{31} = 42.4115008235
x32=32.594023781x_{32} = 32.594023781
x33=75.7909227679x_{33} = -75.7909227679
x34=86.7864970554x_{34} = -86.7864970554
x35=80.1106126665x_{35} = -80.1106126665
x36=58.1194640914x_{36} = -58.1194640914
x37=31.8086256176x_{37} = -31.8086256176
x38=83.6449044018x_{38} = -83.6449044018
x39=21.5984494934x_{39} = 21.5984494934
x40=53.7997741927x_{40} = -53.7997741927
x41=71.0785337875x_{41} = -71.0785337875
x42=34.1648201078x_{42} = 34.1648201078
x43=5.89048622548x_{43} = 5.89048622548
x44=26.7035375555x_{44} = 26.7035375555
x45=97.782071343x_{45} = -97.782071343
x46=98.5674695064x_{46} = 98.5674695064
x47=88.3572933822x_{47} = -88.3572933822
x48=16.1006623496x_{48} = -16.1006623496
x49=9.81747704247x_{49} = -9.81747704247
x50=49.8727833757x_{50} = 49.8727833757
x51=70.2931356241x_{51} = 70.2931356241
x52=1.57079632679x_{52} = -1.57079632679
x53=92.2842841992x_{53} = 92.2842841992
x54=33.3794219444x_{54} = -33.3794219444
x55=67.9369411339x_{55} = -67.9369411339
x56=99.3528676698x_{56} = -99.3528676698
x57=40.448005415x_{57} = 40.448005415
x58=89.928089709x_{58} = -89.928089709
x59=64.7953484803x_{59} = -64.7953484803
x60=78.147117258x_{60} = 78.147117258
x61=1.96349540849x_{61} = -1.96349540849
x62=77.3617190946x_{62} = -77.3617190946
x63=14.1371669412x_{63} = -14.1371669412
x64=7.85398163397x_{64} = 7.85398163397
x65=73.8274273594x_{65} = -73.8274273594
x66=86.001098892x_{66} = 86.001098892
x67=0.392699081699x_{67} = -0.392699081699
x68=84.4303025652x_{68} = 84.4303025652
x69=38.0918109248x_{69} = -38.0918109248
x70=11.3882733693x_{70} = -11.3882733693
x71=1198.91029643x_{71} = -1198.91029643
x72=29.8451302091x_{72} = -29.8451302091
x73=69.5077374607x_{73} = -69.5077374607
x74=23.9546439836x_{74} = -23.9546439836
x75=60.0829594999x_{75} = -60.0829594999
x76=43.5895980686x_{76} = 43.5895980686
x77=39.6626072516x_{77} = -39.6626072516
x78=58.1194640914x_{78} = 58.1194640914
x79=95.8185759345x_{79} = 95.8185759345
x80=36.1283155163x_{80} = -36.1283155163
x81=20.81305133x_{81} = -20.81305133
x82=73.8274273594x_{82} = 73.8274273594
x83=66.3661448071x_{83} = -66.3661448071
x84=10.6028752059x_{84} = 10.6028752059
x85=23.1692458202x_{85} = 23.1692458202
x86=48.3019870489x_{86} = 48.3019870489
x87=54.5851723561x_{87} = 54.5851723561
x88=20.0276531666x_{88} = 20.0276531666
x89=17.6714586764x_{89} = -17.6714586764
x90=22.3838476568x_{90} = -22.3838476568
x91=64.0099503169x_{91} = 64.0099503169
x92=62.4391539901x_{92} = 62.4391539901
x93=12.1736715327x_{93} = 12.1736715327
x94=18.4568568398x_{94} = 18.4568568398
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) + sin(x) + cos(3*x) + sin(3*x).
sin(03)+sin(0)+cos(0)+cos(03)\sin{\left (0 \cdot 3 \right )} + \sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \cdot 3 \right )}
Результат:
f(0)=2f{\left (0 \right )} = 2
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
sin(x)3sin(3x)+cos(x)+3cos(3x)=0- \sin{\left (x \right )} - 3 \sin{\left (3 x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (3 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
sin(x)+9sin(3x)+cos(x)+9cos(3x)=0- \sin{\left (x \right )} + 9 \sin{\left (3 x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 9 \cos{\left (3 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(sin(x)+cos(x)+cos(3x)+sin(3x))=4,4\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right) = \langle -4, 4\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=4,4y = \langle -4, 4\rangle
limx(sin(x)+cos(x)+cos(3x)+sin(3x))=4,4\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right) = \langle -4, 4\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=4,4y = \langle -4, 4\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + sin(x) + cos(3*x) + sin(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(sin(x)+cos(x)+cos(3x)+sin(3x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x(sin(x)+cos(x)+cos(3x)+sin(3x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin(x)+cos(x)+cos(3x)+sin(3x)=sin(x)sin(3x)+cos(x)+cos(3x)\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} = - \sin{\left (x \right )} - \sin{\left (3 x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )}
- Нет
sin(x)+cos(x)+cos(3x)+sin(3x)=1sin(x)sin(3x)cos(x)cos(3x)\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} = - -1 \sin{\left (x \right )} - - \sin{\left (3 x \right )} - \cos{\left (x \right )} - \cos{\left (3 x \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной