График функции y = 1/8*(x^3-3*x^2-9*x+27)

Вы ввели

        3      2           
       x  - 3*x  - 9*x + 27
f(x) = --------------------
                8          

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27}{8}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 3*x^2 - 9*x + 27)/8.
$$\frac{0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 9 \cdot 0 + 27}{8}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{27}{8}$$
Точка:

(0, 27/8)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{3 x^{2}}{8} - \frac{3 x}{4} - \frac{9}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 4)

(3, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-1, 3\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{3 \left(x - 1\right)}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27}{8}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27}{8}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 3*x^2 - 9*x + 27)/8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27}{8 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27}{8 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27}{8} = - \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{27}{8}$$
- Нет
$$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27}{8} = \frac{x^{3}}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} x^{2} - \frac{9 x}{8} - \frac{27}{8}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График