График функции y = cbrt(x)*(x-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       3 ___        
f(x) = \/ x *(x - 1)
f(x)=x3(x1)f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{x} \left(x - 1\right)
График функции
1.02.03.04.05.06.07.08.09.0-2020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x3(x1)=0\sqrt[3]{x} \left(x - 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/3)*(x - 1).
103-1 \sqrt[3]{0}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x3+x13x23=0\sqrt[3]{x} + \frac{x - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Зн. экстремумы в точках:
         3 ___ 
      -3*\/ 2  
(1/4, --------)
         8     


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[1/4, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 1/4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
19x23(61x(2x2))=0\frac{1}{9 x^{\frac{2}{3}}} \left(6 - \frac{1}{x} \left(2 x - 2\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=12x_{1} = - \frac{1}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x3(x1))=13\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{x} \left(x - 1\right)\right) = - \infty \sqrt[3]{-1}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=13y = - \infty \sqrt[3]{-1}
limx(x3(x1))=\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x} \left(x - 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/3)*(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x23(x1))=13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \left(x - 1\right)\right) = \infty \sqrt[3]{-1}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=13xy = \infty \sqrt[3]{-1} x
limx(1x23(x1))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \left(x - 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x3(x1)=x3(x1)\sqrt[3]{x} \left(x - 1\right) = \sqrt[3]{- x} \left(- x - 1\right)
- Нет
x3(x1)=x3(x1)\sqrt[3]{x} \left(x - 1\right) = - \sqrt[3]{- x} \left(- x - 1\right)
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной