График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 3x(x−1)=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 x2=1 Численное решение x1=1 x2=0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^(1/3)*(x - 1). −130 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная 3x+3x32x−1=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=41 Зн. экстремумы в точках:
3 ___
-3*\/ 2
(1/4, --------)
8
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=41 Максимумов у функции нет Убывает на промежутках
[1/4, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 1/4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 9x321(6−x1(2x−2))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−21
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(3x(x−1))=−∞3−1 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=−∞3−1 x→∞lim(3x(x−1))=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/3)*(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x321(x−1))=∞3−1 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=∞3−1x x→∞lim(x321(x−1))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 3x(x−1)=3−x(−x−1) - Нет 3x(x−1)=−3−x(−x−1) - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной