График функции y = sqrt(7-x^2)

Вы ввели

          ________
         /      2 
f(x) = \/  7 - x  

$$f{\left(x \right)} = \sqrt{7 - x^{2}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{7 - x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = \sqrt{7}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
$$x_{2} = 2.64575131106459$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(7 - x^2).
$$\sqrt{7 - 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \sqrt{7}$$
Точка:

(0, sqrt(7))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{x}{\sqrt{7 - x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

      ___ 
(0, \/ 7 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \frac{\frac{x^{2}}{7 - x^{2}} + 1}{\sqrt{7 - x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{7 - x^{2}} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{7 - x^{2}} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(7 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{7 - x^{2}}}{x}\right) = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{7 - x^{2}}}{x}\right) = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = i x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{7 - x^{2}} = \sqrt{7 - x^{2}}$$
- Да
$$\sqrt{7 - x^{2}} = - \sqrt{7 - x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График