График функции y = x^2*(x-2)^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2        2
f(x) = x *(x - 2) 
f(x)=x2(x2)2f{\left (x \right )} = x^{2} \left(x - 2\right)^{2}
График функции
-0.50.00.51.01.52.02.53.0020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2(x2)2=0x^{2} \left(x - 2\right)^{2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*(x - 2)^2.
(2)202\left(-2\right)^{2} \cdot 0^{2}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x2(2x4)+2x(x2)2=0x^{2} \left(2 x - 4\right) + 2 x \left(x - 2\right)^{2} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=2x_{3} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(1, 1)

(2, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x3=0x_{3} = 0
x3=2x_{3} = 2
Максимумы функции в точках:
x3=1x_{3} = 1
Убывает на промежутках
[0, 1] U [2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [1, 2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(x2+4x(x2)+(x2)2)=02 \left(x^{2} + 4 x \left(x - 2\right) + \left(x - 2\right)^{2}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=33+1x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3} + 1
x2=33+1x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(3)/3 + 1] U [sqrt(3)/3 + 1, oo)

Выпуклая на промежутках
[-sqrt(3)/3 + 1, sqrt(3)/3 + 1]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2(x2)2)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x - 2\right)^{2}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x2(x2)2)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x - 2\right)^{2}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*(x - 2)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x(x2)2)=\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 2\right)^{2}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x(x2)2)=\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 2\right)^{2}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2(x2)2=x2(x2)2x^{2} \left(x - 2\right)^{2} = x^{2} \left(- x - 2\right)^{2}
- Нет
x2(x2)2=x2(x2)2x^{2} \left(x - 2\right)^{2} = - x^{2} \left(- x - 2\right)^{2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной