График функции y = (2*x+1)/(x-1)

       2*x + 1
f(x) = -------
        x - 1 

$$f{\left (x \right )} = \frac{2 x + 1}{x - 1}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x + 1}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.5$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x + 1)/(x - 1).
$$\frac{1}{-1} \left(0 \cdot 2 + 1\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(-4 + \frac{4 x + 2}{x - 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x - 1}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x - 1}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 2$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x + 1)/(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x + 1}{x - 1} = \frac{- 2 x + 1}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{2 x + 1}{x - 1} = - \frac{- 2 x + 1}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной