График функции y = (2*x+1)/(x-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       2*x + 1
f(x) = -------
        x - 1 
f(x)=2x+1x1f{\left (x \right )} = \frac{2 x + 1}{x - 1}
График функции
-2.0-1.5-1.0-0.54.00.00.51.01.52.02.53.03.5-100100
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2x+1x1=0\frac{2 x + 1}{x - 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=12x_{1} = - \frac{1}{2}
Численное решение
x1=0.5x_{1} = -0.5
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x + 1)/(x - 1).
11(02+1)\frac{1}{-1} \left(0 \cdot 2 + 1\right)
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = -1
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x12x+1(x1)2=0\frac{2}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1(x1)2(4+4x+2x1)=0\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(-4 + \frac{4 x + 2}{x - 1}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = 1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2x+1x1)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x - 1}\right) = 2
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=2y = 2
limx(2x+1x1)=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x - 1}\right) = 2
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=2y = 2
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x + 1)/(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(2x+1x(x1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(2x+1x(x1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2x+1x1=2x+1x1\frac{2 x + 1}{x - 1} = \frac{- 2 x + 1}{- x - 1}
- Нет
2x+1x1=2x+1x1\frac{2 x + 1}{x - 1} = - \frac{- 2 x + 1}{- x - 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной