График функции y = e^(x)*(x^2+2*x+2)

Вы ввели

        x / 2          \
f(x) = e *\x  + 2*x + 2/

$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -119.273448515862$$
$$x_{2} = -67.6720627434668$$
$$x_{3} = -109.315918294535$$
$$x_{4} = -73.5896224059003$$
$$x_{5} = -95.3931460689437$$
$$x_{6} = -121.265912896964$$
$$x_{7} = -113.297893952531$$
$$x_{8} = -79.5226554731179$$
$$x_{9} = -107.325516166912$$
$$x_{10} = -65.7039530827494$$
$$x_{11} = -42.4783067085608$$
$$x_{12} = -46.2605567488215$$
$$x_{13} = -85.4671635088713$$
$$x_{14} = -103.346016257358$$
$$x_{15} = -48.1728487020973$$
$$x_{16} = -52.0274202264269$$
$$x_{17} = -53.9664184862089$$
$$x_{18} = -117.281278570074$$
$$x_{19} = -77.5435375255454$$
$$x_{20} = -36.9821594525945$$
$$x_{21} = -71.615135810593$$
$$x_{22} = -69.6425424382487$$
$$x_{23} = -99.3684623149923$$
$$x_{24} = -55.9116124777923$$
$$x_{25} = -111.306719013391$$
$$x_{26} = -115.28942069179$$
$$x_{27} = -63.7385134023521$$
$$x_{28} = -57.8620932272766$$
$$x_{29} = -75.5658115642911$$
$$x_{30} = -101.356979081891$$
$$x_{31} = -81.4948758906101$$
$$x_{32} = -40.6160517614495$$
$$x_{33} = -50.0957518694358$$
$$x_{34} = -105.335539169667$$
$$x_{35} = -89.4351612138673$$
$$x_{36} = -81.503038312605$$
$$x_{37} = -83.4845740296697$$
$$x_{38} = -93.4064346523639$$
$$x_{39} = -87.4507187218857$$
$$x_{40} = -35.2345819109678$$
$$x_{41} = -97.3805040182242$$
$$x_{42} = -61.7760970105305$$
$$x_{43} = -44.3612954234865$$
$$x_{44} = -59.8171231321388$$
$$x_{45} = -38.780872273237$$
$$x_{46} = -91.420420832047$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^x*(x^2 + 2*x + 2).
$$\left(0^{2} + 2 \cdot 0 + 2\right) e^{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\left(2 x + 2\right) e^{x} + \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:

        -2 
(-2, 2*e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\left(x^{2} + 6 x + 8\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[-2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-4, -2\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^x*(x^2 + 2*x + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x} = \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{- x}$$
- Нет
$$\left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x} = - \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График