График функции y = e^(x)*(x^2+2*x+2)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
x / 2 \ f(x) = E *\x + 2*x + 2/
$$f{\left (x \right )} = e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right)$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Численное решение
$$x_{1} = -79.5226554731$$
$$x_{2} = -87.4507187219$$
$$x_{3} = -113.297893953$$
$$x_{4} = -35.234581911$$
$$x_{5} = -81.5030383126$$
$$x_{6} = -115.289420692$$
$$x_{7} = -91.420420832$$
$$x_{8} = -119.273448516$$
$$x_{9} = -53.9664184862$$
$$x_{10} = -89.4351612139$$
$$x_{11} = -97.3805040182$$
$$x_{12} = -107.325516167$$
$$x_{13} = -93.4064346524$$
$$x_{14} = -109.315918295$$
$$x_{15} = -67.6720627435$$
$$x_{16} = -63.7385134024$$
$$x_{17} = -99.368462315$$
$$x_{18} = -65.7039530827$$
$$x_{19} = -105.33553917$$
$$x_{20} = -81.4948758906$$
$$x_{21} = -57.8620932273$$
$$x_{22} = -77.5435375255$$
$$x_{23} = -42.4783067086$$
$$x_{24} = -48.1728487021$$
$$x_{25} = -46.2605567488$$
$$x_{26} = -55.9116124778$$
$$x_{27} = -75.5658115643$$
$$x_{28} = -69.6425424382$$
$$x_{29} = -38.7808722732$$
$$x_{30} = -61.7760970105$$
$$x_{31} = -73.5896224059$$
$$x_{32} = -111.306719013$$
$$x_{33} = -85.4671635089$$
$$x_{34} = -52.0274202264$$
$$x_{35} = -101.356979082$$
$$x_{36} = -121.265912897$$
$$x_{37} = -40.6160517614$$
$$x_{38} = -36.9821594526$$
$$x_{39} = -50.0957518694$$
$$x_{40} = -59.8171231321$$
$$x_{41} = -44.3612954235$$
$$x_{42} = -95.3931460689$$
$$x_{43} = -117.28127857$$
$$x_{44} = -83.4845740297$$
$$x_{45} = -71.6151358106$$
$$x_{46} = -103.346016257$$
значит надо решить уравнение:
$$e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Численное решение
$$x_{1} = -79.5226554731$$
$$x_{2} = -87.4507187219$$
$$x_{3} = -113.297893953$$
$$x_{4} = -35.234581911$$
$$x_{5} = -81.5030383126$$
$$x_{6} = -115.289420692$$
$$x_{7} = -91.420420832$$
$$x_{8} = -119.273448516$$
$$x_{9} = -53.9664184862$$
$$x_{10} = -89.4351612139$$
$$x_{11} = -97.3805040182$$
$$x_{12} = -107.325516167$$
$$x_{13} = -93.4064346524$$
$$x_{14} = -109.315918295$$
$$x_{15} = -67.6720627435$$
$$x_{16} = -63.7385134024$$
$$x_{17} = -99.368462315$$
$$x_{18} = -65.7039530827$$
$$x_{19} = -105.33553917$$
$$x_{20} = -81.4948758906$$
$$x_{21} = -57.8620932273$$
$$x_{22} = -77.5435375255$$
$$x_{23} = -42.4783067086$$
$$x_{24} = -48.1728487021$$
$$x_{25} = -46.2605567488$$
$$x_{26} = -55.9116124778$$
$$x_{27} = -75.5658115643$$
$$x_{28} = -69.6425424382$$
$$x_{29} = -38.7808722732$$
$$x_{30} = -61.7760970105$$
$$x_{31} = -73.5896224059$$
$$x_{32} = -111.306719013$$
$$x_{33} = -85.4671635089$$
$$x_{34} = -52.0274202264$$
$$x_{35} = -101.356979082$$
$$x_{36} = -121.265912897$$
$$x_{37} = -40.6160517614$$
$$x_{38} = -36.9821594526$$
$$x_{39} = -50.0957518694$$
$$x_{40} = -59.8171231321$$
$$x_{41} = -44.3612954235$$
$$x_{42} = -95.3931460689$$
$$x_{43} = -117.28127857$$
$$x_{44} = -83.4845740297$$
$$x_{45} = -71.6151358106$$
$$x_{46} = -103.346016257$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^x*(x^2 + 2*x + 2).
$$e^{0} \left(0^{2} + 0 \cdot 2 + 2\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:
подставляем x = 0 в E^x*(x^2 + 2*x + 2).
$$e^{0} \left(0^{2} + 0 \cdot 2 + 2\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(2 x + 2\right) e^{x} + \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(2 x + 2\right) e^{x} + \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:
-2 (-2, 2*e )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(x^{2} + 6 x + 8\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(x^{2} + 6 x + 8\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -4] U [-2, oo)
Выпуклая на промежутках
[-4, -2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^x*(x^2 + 2*x + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right) = \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{- x}$$
- Нет
$$e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right) = - \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right) = \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{- x}$$
- Нет
$$e^{x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right) = - \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной