График функции y = 1/4*x^4+1/3*x^3-x^2

Вы ввели

        4    3     
       x    x     2
f(x) = -- + -- - x 
       4    3      

$$f{\left (x \right )} = - x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{10}}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{2 \sqrt{10}}{3} - \frac{2}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.44151844011$$
$$x_{3} = -2.77485177345$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4/4 + x^3/3 - x^2.
$$\frac{0^{4}}{4} + \frac{0^{3}}{3} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, -8/3)

(0, 0)

(1, -5/12)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = -2$$
$$x_{3} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках

[-2, 0] U [1, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2] U [0, 1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$3 x^{2} + 2 x - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -sqrt(7)/3 - 1/3] U [-1/3 + sqrt(7)/3, oo)

Выпуклая на промежутках

[-sqrt(7)/3 - 1/3, -1/3 + sqrt(7)/3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 + x^3/3 - x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2}$$
- Нет
$$- x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} = - \frac{x^{4}}{4} - - \frac{x^{3}}{3} - - x^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной