Графики функций/ Построение в 2D/ y = x/cbrt(1-x^2)

График функции y = x/cbrt(1-x^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
            x     
f(x) = -----------
          ________
       3 /      2 
       \/  1 - x
f(x)=x−x2+13f{\left (x \right )} = \frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}}
График функции
-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.85-5
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x−x2+13=0\frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/(1 - x^2)^(1/3).
0−0+13\frac{0}{\sqrt[3]{- 0 + 1}}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x23(−x2+1)43+1−x2+13=0\frac{2 x^{2}}{3 \left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3}
Зн. экстремумы в точках:
             2/3   ___ 
    ___  (-2)   *\/ 3  
(-\/ 3, -------------)
               2


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2x9−x2+13(8x2(−x2+1)2−3x2−1+6−x2+1)=0\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
x3=3x_{3} = 3
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2x9−x2+13(8x2(−x2+1)2−3x2−1+6−x2+1))=−∞+∞i\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = - \infty + \infty i
lim⁡x→−1+(2x9−x2+13(8x2(−x2+1)2−3x2−1+6−x2+1))=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = -\infty
- пределы не равны, зн.
x1=−1x_{1} = -1
- является точкой перегиба
lim⁡x→1−(2x9−x2+13(8x2(−x2+1)2−3x2−1+6−x2+1))=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = \infty
lim⁡x→1+(2x9−x2+13(8x2(−x2+1)2−3x2−1+6−x2+1))=∞−∞i\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = \infty - \infty i
- пределы не равны, зн.
x2=1x_{2} = 1
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -3] U [0, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [3, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(x−x2+13)=∞(−1)23\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}}\right) = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=∞(−1)23y = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
lim⁡x→∞(x−x2+13)=−∞(−1)23\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}}\right) = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=−∞(−1)23y = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(1 - x^2)^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞1−x2+13=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞1−x2+13=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x−x2+13=−x−x2+13\frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = - \frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}}
- Нет
x−x2+13=−−1x−x2+13\frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = - \frac{-1 x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной