График функции y = x/cbrt(1-x^2)

Вы ввели

            x     
f(x) = -----------
          ________
       3 /      2 
       \/  1 - x  

$$f{\left (x \right )} = \frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/(1 - x^2)^(1/3).
$$\frac{0}{\sqrt[3]{- 0 + 1}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x^{2}}{3 \left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

             2/3   ___ 
    ___  (-2)   *\/ 3  
(-\/ 3, -------------)
               2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = - \infty + \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = \infty - \infty i$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -3] U [0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0] U [3, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}}\right) = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}}\right) = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(1 - x^2)^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = - \frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}} = - \frac{-1 x}{\sqrt[3]{- x^{2} + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной