Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная$$\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = - \infty + \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{9 \sqrt[3]{- x^{2} + 1}} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} - 1} + \frac{6}{- x^{2} + 1}\right)\right) = \infty - \infty i$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -3] U [0, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [3, oo)