График функции y = 2*x^4+8/3*x^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                 3
          4   8*x 
f(x) = 2*x  + ----
               3  
f(x)=2x4+8x33f{\left(x \right)} = 2 x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2x4+8x33=02 x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=43x_{1} = - \frac{4}{3}
x2=0x_{2} = 0
Численное решение
x1=1.33333333333333x_{1} = -1.33333333333333
x2=0x_{2} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^4 + 8*x^3/3.
204+80332 \cdot 0^{4} + \frac{8 \cdot 0^{3}}{3}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
8x3+8x2=08 x^{3} + 8 x^{2} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(-1, -2/3)

(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=1x_{1} = -1
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[1,)\left[-1, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,1]\left(-\infty, -1\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
8x(3x+2)=08 x \left(3 x + 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=23x_{1} = - \frac{2}{3}
x2=0x_{2} = 0

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,23][0,)\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
[23,0]\left[- \frac{2}{3}, 0\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2x4+8x33)=\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(2x4+8x33)=\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^4 + 8*x^3/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(2x4+8x33x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3}}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(2x4+8x33x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3}}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2x4+8x33=2x48x332 x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3} = 2 x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}
- Нет
2x4+8x33=2x4+8x332 x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3} = - 2 x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = 2*x^4+8/3*x^3 /media/krcore-image-pods/hash/xy/7/23/d744e7dfd9effa93a618a43539f49.png