График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 2x4+38x3=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−34 x2=0 Численное решение x1=−1.33333333333333 x2=0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 2*x^4 + 8*x^3/3. 2⋅04+38⋅03 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная 8x3+8x2=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−1 x2=0 Зн. экстремумы в точках:
(-1, -2/3)
(0, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=−1 Максимумов у функции нет Убывает на промежутках [−1,∞) Возрастает на промежутках (−∞,−1]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 8x(3x+2)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−32 x2=0
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (−∞,−32]∪[0,∞) Выпуклая на промежутках [−32,0]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(2x4+38x3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(2x4+38x3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^4 + 8*x^3/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x2x4+38x3)=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x2x4+38x3)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 2x4+38x3=2x4−38x3 - Нет 2x4+38x3=−2x4+38x3 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной