График функции y = sqrt(x-3)*(x-5)

Вы ввели

         _______        
f(x) = \/ x - 3 *(x - 5)

$$f{\left (x \right )} = \left(x - 5\right) \sqrt{x - 3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 5\right) \sqrt{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x - 3)*(x - 5).
$$-5 \sqrt{-3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - 5 \sqrt{3} i$$
Точка:

(0, -5*i*sqrt(3))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x - 5}{2 \sqrt{x - 3}} + \sqrt{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{11}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

            ___ 
       -4*\/ 6  
(11/3, --------)
          9     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{11}{3}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[11/3, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 11/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\sqrt{x - 3}} \left(- \frac{x - 5}{4 x - 12} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{7}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 5\right) \sqrt{x - 3}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 5\right) \sqrt{x - 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x - 3)*(x - 5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 5\right) \sqrt{x - 3}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \infty i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 5\right) \sqrt{x - 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 5\right) \sqrt{x - 3} = \left(- x - 5\right) \sqrt{- x - 3}$$
- Нет
$$\left(x - 5\right) \sqrt{x - 3} = - \left(- x - 5\right) \sqrt{- x - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной