График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$\left(x - 5\right) \sqrt{x - 3} = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = 3$$ $$x_{2} = 5$$ Численное решение $$x_{1} = 3$$ $$x_{2} = 5$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sqrt(x - 3)*(x - 5). $$-5 \sqrt{-3}$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = - 5 \sqrt{3} i$$ Точка:
(0, -5*i*sqrt(3))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$\frac{x - 5}{2 \sqrt{x - 3}} + \sqrt{x - 3} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = \frac{11}{3}$$ Зн. экстремумы в точках:
___
-4*\/ 6
(11/3, --------)
9
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: $$x_{1} = \frac{11}{3}$$ Максимумов у функции нет Убывает на промежутках
[11/3, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 11/3]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$\frac{1}{\sqrt{x - 3}} \left(- \frac{x - 5}{4 x - 12} + 1\right) = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = \frac{7}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 5\right) \sqrt{x - 3}\right) = - \infty i$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: $$y = - \infty i$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 5\right) \sqrt{x - 3}\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x - 3)*(x - 5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 5\right) \sqrt{x - 3}\right) = \infty i$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: $$y = \infty i x$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 5\right) \sqrt{x - 3}\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$\left(x - 5\right) \sqrt{x - 3} = \left(- x - 5\right) \sqrt{- x - 3}$$ - Нет $$\left(x - 5\right) \sqrt{x - 3} = - \left(- x - 5\right) \sqrt{- x - 3}$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной