График функции y = (|x^2+4*x-5|)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
| 2 | f(x) = |x + 4*x - 5|
$$f{\left (x \right )} = \left|{x^{2} + 4 x - 5}\right|$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{x^{2} + 4 x - 5}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
значит надо решить уравнение:
$$\left|{x^{2} + 4 x - 5}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x^2 + 4*x - 5|.
$$\left|{-5 + 0^{2} + 0 \cdot 4}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 5$$
Точка:
подставляем x = 0 в |x^2 + 4*x - 5|.
$$\left|{-5 + 0^{2} + 0 \cdot 4}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 5$$
Точка:
(0, 5)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(2 x + 4\right) \operatorname{sign}{\left (x^{2} + 4 x - 5 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(2 x + 4\right) \operatorname{sign}{\left (x^{2} + 4 x - 5 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, 9)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках
(-oo, -2]
Возрастает на промежутках
[-2, oo)
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{x^{2} + 4 x - 5}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{x^{2} + 4 x - 5}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{x^{2} + 4 x - 5}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{x^{2} + 4 x - 5}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x^2 + 4*x - 5|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{x^{2} + 4 x - 5}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{x^{2} + 4 x - 5}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{x^{2} + 4 x - 5}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{x^{2} + 4 x - 5}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{x^{2} + 4 x - 5}\right| = \left|{- x^{2} + 4 x + 5}\right|$$
- Нет
$$\left|{x^{2} + 4 x - 5}\right| = - \left|{- x^{2} + 4 x + 5}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left|{x^{2} + 4 x - 5}\right| = \left|{- x^{2} + 4 x + 5}\right|$$
- Нет
$$\left|{x^{2} + 4 x - 5}\right| = - \left|{- x^{2} + 4 x + 5}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной