График функции y = (x^2-81)/(x+9)

Вы ввели

        2     
       x  - 81
f(x) = -------
        x + 9 

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 81}{x + 9}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -9$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 81}{x + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 9$$
Численное решение
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = -9$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 81)/(x + 9).
$$\frac{1}{9} \left(-81 + 0^{2}\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -9$$
Точка:

(0, -9)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{2 x}{x + 9} - \frac{x^{2} - 81}{\left(x + 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 9} \left(- \frac{4 x}{x + 9} + 2 + \frac{2 x^{2} - 162}{\left(x + 9\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -9$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 81}{x + 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 81}{x + 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 81)/(x + 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 81}{x \left(x + 9\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 81}{x \left(x + 9\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 81}{x + 9} = \frac{x^{2} - 81}{- x + 9}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 81}{x + 9} = - \frac{x^{2} - 81}{- x + 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной