График функции y = x^3-27/x^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3   27
f(x) = x  - --
             2
            x 
f(x)=x327x2f{\left(x \right)} = x^{3} - \frac{27}{x^{2}}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-2000010000
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x327x2=0x^{3} - \frac{27}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=335x_{1} = 3^{\frac{3}{5}}
Численное решение
x1=1.93318204493176x_{1} = 1.93318204493176
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 27/(x^2).
0327020^{3} - \frac{27}{0^{2}}
Результат:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
3x2+54x3=03 x^{2} + \frac{54}{x^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=185x_{1} = - \sqrt[5]{18}
Зн. экстремумы в точках:
              5 ____ 
  5 ____  -15*\/ 24  
(-\/ 18, ----------)
              2      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=185x_{1} = - \sqrt[5]{18}
Убывает на промежутках
(,185]\left(-\infty, - \sqrt[5]{18}\right]
Возрастает на промежутках
[185,)\left[- \sqrt[5]{18}, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
6(x27x4)=06 \left(x - \frac{27}{x^{4}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=335x_{1} = 3^{\frac{3}{5}}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0

limx0(6(x27x4))=\lim_{x \to 0^-}\left(6 \left(x - \frac{27}{x^{4}}\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
limx0+(6(x27x4))=\lim_{x \to 0^+}\left(6 \left(x - \frac{27}{x^{4}}\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[335,)\left[3^{\frac{3}{5}}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,335]\left(-\infty, 3^{\frac{3}{5}}\right]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x327x2)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - \frac{27}{x^{2}}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x327x2)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - \frac{27}{x^{2}}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 27/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x327x2x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - \frac{27}{x^{2}}}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x327x2x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - \frac{27}{x^{2}}}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x327x2=x327x2x^{3} - \frac{27}{x^{2}} = - x^{3} - \frac{27}{x^{2}}
- Нет
x327x2=x3+27x2x^{3} - \frac{27}{x^{2}} = x^{3} + \frac{27}{x^{2}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^3-27/x^2 /media/krcore-image-pods/hash/xy/9/16/5a62baf5ce685c243f80a1b015132.png