График функции y = x^3-27/x^2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3   27
f(x) = x  - --
             2
            x 
$$f{\left (x \right )} = x^{3} - \frac{27}{x^{2}}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} - \frac{27}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3^{\frac{3}{5}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.93318204493$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 27/x^2.
$$0^{3} - 27 \tilde{\infty}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} + \frac{54}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt[5]{18}$$
Зн. экстремумы в точках:
              5 ____ 
  5 ____  -15*\/ 24  
(-\/ 18, ----------)
              2      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt[5]{18}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -18**(1/5)]

Возрастает на промежутках
[-18**(1/5), oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x - \frac{27}{x^{4}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3^{\frac{3}{5}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(6 \left(x - \frac{27}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 \left(x - \frac{27}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3**(3/5), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 3**(3/5)]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - \frac{27}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - \frac{27}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 27/x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - \frac{27}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - \frac{27}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} - \frac{27}{x^{2}} = - x^{3} - \frac{27}{x^{2}}$$
- Нет
$$x^{3} - \frac{27}{x^{2}} = - -1 x^{3} - - \frac{27}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной