Точки, в которых функция точно неопределена: x1=0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x3−x227=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=353 Численное решение x1=1.93318204493176
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^3 - 27/(x^2). 03−0227 Результат: f(0)=∞~ зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная 3x2+x354=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−518 Зн. экстремумы в точках:
5 ____
5 ____ -15*\/ 24
(-\/ 18, ----------)
2
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: x1=−518 Убывает на промежутках (−∞,−518] Возрастает на промежутках [−518,∞)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 6(x−x427)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=353 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=0
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках [353,∞) Выпуклая на промежутках (−∞,353]
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x3−x227)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x3−x227)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 27/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xx3−x227)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(xx3−x227)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x3−x227=−x3−x227 - Нет x3−x227=x3+x227 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной