График функции y = log(x^2/(2-x))

Вы ввели

          /   2 \
          |  x  |
f(x) = log|-----|
          \2 - x/

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x^2/(2 - x)).
$$\log{\left (\frac{0^{2}}{- 0 + 2} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{1}{x^{2}} \left(- x + 2\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(- x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x}{- x + 2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

(4, pi*I + log(8))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{x} \left(- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x}{x - 2} - 4\right) + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{4 x}{x - 2} + 2\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2} + 4$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2} + 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$

$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x}{x - 2} - 4\right) + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{4 x}{x - 2} + 2\right)\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x}{x - 2} - 4\right) + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{4 x}{x - 2} + 2\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2*sqrt(2) + 4, 2*sqrt(2) + 4]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*sqrt(2) + 4] U [2*sqrt(2) + 4, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x^2/(2 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )} = \log{\left (\frac{x^{2}}{x + 2} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )} = - \log{\left (\frac{x^{2}}{x + 2} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной