Точки, в которых функция точно неопределена: x1=2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: log(−x+2x2)=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−2 x2=1 Численное решение x1=1 x2=−2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в log(x^2/(2 - x)). log(−0+202) Результат: f(0)=∞~ зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная x21(−x+2)((−x+2)2x2+−x+22x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=4 Зн. экстремумы в точках:
(4, pi*I + log(8))
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумов у функции нет Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная x1(−x−2x−2x−2+x1(x−22x−4)+x1((x−2)22x2−x−24x+2))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−22+4 x2=22+4 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=2
x→2−lim(x1(−x−2x−2x−2+x1(x−22x−4)+x1((x−2)22x2−x−24x+2)))=∞ x→2+lim(x1(−x−2x−2x−2+x1(x−22x−4)+x1((x−2)22x2−x−24x+2)))=∞ - пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[-2*sqrt(2) + 4, 2*sqrt(2) + 4]
Выпуклая на промежутках
(-oo, -2*sqrt(2) + 4] U [2*sqrt(2) + 4, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞limlog(−x+2x2)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞limlog(−x+2x2)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x^2/(2 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1log(−x+2x2))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x1log(−x+2x2))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: log(−x+2x2)=log(x+2x2) - Нет log(−x+2x2)=−log(x+2x2) - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной