График функции y = log(x^2/(2-x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /   2 \
          |  x  |
f(x) = log|-----|
          \2 - x/
f(x)=log(x2x+2)f{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )}
График функции
0-40-35-30-25-20-15-10-5-1010
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=2x_{1} = 2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log(x2x+2)=0\log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = -2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x^2/(2 - x)).
log(020+2)\log{\left (\frac{0^{2}}{- 0 + 2} \right )}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
1x2(x+2)(x2(x+2)2+2xx+2)=0\frac{1}{x^{2}} \left(- x + 2\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(- x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x}{- x + 2}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=4x_{1} = 4
Зн. экстремумы в точках:
(4, pi*I + log(8))


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x(xx22x2+1x(2xx24)+1x(2x2(x2)24xx2+2))=0\frac{1}{x} \left(- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x}{x - 2} - 4\right) + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{4 x}{x - 2} + 2\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=22+4x_{1} = - 2 \sqrt{2} + 4
x2=22+4x_{2} = 2 \sqrt{2} + 4
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=2x_{1} = 2

limx2(1x(xx22x2+1x(2xx24)+1x(2x2(x2)24xx2+2)))=\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x}{x - 2} - 4\right) + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{4 x}{x - 2} + 2\right)\right)\right) = \infty
limx2+(1x(xx22x2+1x(2xx24)+1x(2x2(x2)24xx2+2)))=\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x}{x - 2} - 4\right) + \frac{1}{x} \left(\frac{2 x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{4 x}{x - 2} + 2\right)\right)\right) = \infty
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2*sqrt(2) + 4, 2*sqrt(2) + 4]

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2*sqrt(2) + 4] U [2*sqrt(2) + 4, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=2x_{1} = 2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxlog(x2x+2)=\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limxlog(x2x+2)=\lim_{x \to \infty} \log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x^2/(2 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xlog(x2x+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1xlog(x2x+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log(x2x+2)=log(x2x+2)\log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )} = \log{\left (\frac{x^{2}}{x + 2} \right )}
- Нет
log(x2x+2)=log(x2x+2)\log{\left (\frac{x^{2}}{- x + 2} \right )} = - \log{\left (\frac{x^{2}}{x + 2} \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной