График функции y = x^3/(x-2)^2

Вы ввели

           3   
          x    
f(x) = --------
              2
       (x - 2) 

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{3}}{\left(x - 2\right)^{2}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/(x - 2)^2.
$$\frac{0^{3}}{\left(-2\right)^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{x^{3} \left(- 2 x + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{4}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(6, 27/2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 6$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[6, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 6]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{6 x}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 2} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$

$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{6 x}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{6 x}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x - 2)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{\left(x - 2\right)^{2}} = - \frac{x^{3}}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{\left(x - 2\right)^{2}} = - \frac{-1 x^{3}}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной