График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x*sqrt(x) - 3*x + 1. $$0 \sqrt{0} - 0 + 1$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = 1$$ Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 3 = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = 4$$ Зн. экстремумы в точках:
(4, -3)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: $$x_{1} = 4$$ Максимумов у функции нет Убывает на промежутках
[4, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$\frac{3}{4 \sqrt{x}} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} x - 3 x + 1\right) = - \infty i$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: $$y = - \infty i$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} x - 3 x + 1\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(x) - 3*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sqrt{x} x - 3 x + 1\right)\right) = \infty i$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: $$y = \infty i x$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sqrt{x} x - 3 x + 1\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$\sqrt{x} x - 3 x + 1 = - x \sqrt{- x} + 3 x + 1$$ - Нет $$\sqrt{x} x - 3 x + 1 = - -1 x \sqrt{- x} - 3 x - 1$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной