График функции y = x*sqrt(x)-3*x+1

Вы ввели

           ___          
f(x) = x*\/ x  - 3*x + 1

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{x} x - 3 x + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x} x - 3 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3 + \frac{7}{\sqrt[3]{\frac{37}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{37}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.42602204776$$
$$x_{2} = 8.29085936938$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(x) - 3*x + 1.
$$0 \sqrt{0} - 0 + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

(4, -3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[4, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{3}{4 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} x - 3 x + 1\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} x - 3 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(x) - 3*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sqrt{x} x - 3 x + 1\right)\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \infty i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sqrt{x} x - 3 x + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x} x - 3 x + 1 = - x \sqrt{- x} + 3 x + 1$$
- Нет
$$\sqrt{x} x - 3 x + 1 = - -1 x \sqrt{- x} - 3 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной