Точки, в которых функция точно неопределена: x1=0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 4x+1⋅x1=0 Решаем это уравнение Решения не найдено, может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 1/x + 4*x. 4⋅0+1⋅01 Результат: f(0)=∞~ зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная 4−x21=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−21 x2=21 Зн. экстремумы в точках:
(-1/2, -4)
(1/2, 4)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=21 Максимумы функции в точках: x1=−21 Убывает на промежутках (−∞,−21]∪[21,∞) Возрастает на промежутках [−21,21]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная x32=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(4x+1⋅x1)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(4x+1⋅x1)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/x + 4*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x4x+1⋅x1)=4 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=4x x→∞lim(x4x+1⋅x1)=4 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=4x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 4x+1⋅x1=−4x−x1 - Нет 4x+1⋅x1=4x+x1 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной