График функции y = (1/x)+4*x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         1      
f(x) = 1*- + 4*x
         x      
f(x)=4x+11xf{\left(x \right)} = 4 x + 1 \cdot \frac{1}{x}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-100100
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
4x+11x=04 x + 1 \cdot \frac{1}{x} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/x + 4*x.
40+1104 \cdot 0 + 1 \cdot \frac{1}{0}
Результат:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
41x2=04 - \frac{1}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=12x_{1} = - \frac{1}{2}
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(-1/2, -4)

(1/2, 4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Максимумы функции в точках:
x1=12x_{1} = - \frac{1}{2}
Убывает на промежутках
(,12][12,)\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[12,12]\left[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2x3=0\frac{2}{x^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(4x+11x)=\lim_{x \to -\infty}\left(4 x + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(4x+11x)=\lim_{x \to \infty}\left(4 x + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/x + 4*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(4x+11xx)=4\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 4
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=4xy = 4 x
limx(4x+11xx)=4\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 4
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=4xy = 4 x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
4x+11x=4x1x4 x + 1 \cdot \frac{1}{x} = - 4 x - \frac{1}{x}
- Нет
4x+11x=4x+1x4 x + 1 \cdot \frac{1}{x} = 4 x + \frac{1}{x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (1/x)+4*x /media/krcore-image-pods/hash/xy/b/c2/318848e0fc76742a4cdddc9e352e2.png