График функции y = (1/x)+4*x

       1      
f(x) = - + 4*x
       x      

$$f{\left (x \right )} = 4 x + \frac{1}{x}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 x + \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/x + 4*x.
$$\frac{1}{0} + 0 \cdot 4$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1/2, -4)

(1/2, 4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1/2] U [1/2, oo)

Возрастает на промежутках

[-1/2, 1/2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 x + \frac{1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x + \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/x + 4*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(4 x + \frac{1}{x}\right)\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 4 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(4 x + \frac{1}{x}\right)\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 4 x$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 x + \frac{1}{x} = - 4 x - \frac{1}{x}$$
- Нет
$$4 x + \frac{1}{x} = - -1 \cdot 4 x - - \frac{1}{x}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной