График функции y = -19+108*x-x^3

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                      3
f(x) = -19 + 108*x - x 
$$f{\left (x \right )} = - x^{3} + 108 x - 19$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{3} + 108 x - 19 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{513}{2} + \frac{27 i}{2} \sqrt{186263}} - \frac{108}{\sqrt[3]{\frac{513}{2} + \frac{27 i}{2} \sqrt{186263}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.175976385017$$
$$x_{2} = -10.4791755276$$
$$x_{3} = 10.3031991426$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -19 + 108*x - x^3.
$$-19 + 0 \cdot 108 - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -19$$
Точка:
(0, -19)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 3 x^{2} + 108 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:
(-6, -451)

(6, 413)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -6$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 6$$
Убывает на промежутках
[-6, 6]

Возрастает на промежутках
(-oo, -6] U [6, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{3} + 108 x - 19\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + 108 x - 19\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -19 + 108*x - x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{3} + 108 x - 19\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{3} + 108 x - 19\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{3} + 108 x - 19 = x^{3} - 108 x - 19$$
- Нет
$$- x^{3} + 108 x - 19 = - x^{3} - - 108 x + 19$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной