График y = f(x) = -19+108*x-x^3 (минус 19 плюс 108 умножить на х минус х в кубе) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = -19+108*x-x^3

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                      3
f(x) = -19 + 108*x - x 
$$f{\left(x \right)} = - x^{3} + \left(108 x - 19\right)$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{3} + \left(108 x - 19\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{513}{2} + \frac{27 \sqrt{186263} i}{2}}}{3} - \frac{108}{\sqrt[3]{\frac{513}{2} + \frac{27 \sqrt{186263} i}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 10.3031991426299$$
$$x_{2} = 0.175976385016678$$
$$x_{3} = -10.4791755276466$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -19 + 108*x - x^3.
$$\left(-19 + 0 \cdot 108\right) - 0^{3}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -19$$
Точка:
(0, -19)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$108 - 3 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:
(-6, -451)

(6, 413)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -6$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 6$$
Убывает на промежутках
$$\left[-6, 6\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -6\right] \cup \left[6, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{3} + \left(108 x - 19\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + \left(108 x - 19\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -19 + 108*x - x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + \left(108 x - 19\right)}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + \left(108 x - 19\right)}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{3} + \left(108 x - 19\right) = x^{3} - 108 x - 19$$
- Нет
$$- x^{3} + \left(108 x - 19\right) = - x^{3} + 108 x + 19$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = -19+108*x-x^3 /media/krcore-image-pods/c/d1/6df80b61f6bde9177b7a38f103ca4.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: