График функции y = (x+1)/(x^2-9)

Вы ввели

       x + 1 
f(x) = ------
        2    
       x  - 9

$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)/(x^2 - 1*9).
$$\frac{0 + 1}{\left(-1\right) 9 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{9}$$
Точка:

(0, -1/9)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)/(x^2 - 1*9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = \frac{1 - x}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = - \frac{1 - x}{x^{2} - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График