Точки, в которых функция точно неопределена: x1=−3 x2=3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x2−9x+1=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−1 Численное решение x1=−1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x + 1)/(x^2 - 1*9). (−1)9+020+1 Результат: f(0)=−91 Точка:
(0, -1/9)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная −(x2−9)22x(x+1)+x2−91=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная (x2−9)22(−2x+(x+1)(x2−94x2−1))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2⋅32−1+2⋅232 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=−3 x2=3
x→−3−lim(x2−9)22(−2x+(x+1)(x2−94x2−1))=−∞ Возьмём предел x→−3+lim(x2−9)22(−2x+(x+1)(x2−94x2−1))=∞ Возьмём предел - пределы не равны, зн. x1=−3 - является точкой перегиба x→3−lim(x2−9)22(−2x+(x+1)(x2−94x2−1))=−∞ Возьмём предел x→3+lim(x2−9)22(−2x+(x+1)(x2−94x2−1))=∞ Возьмём предел - пределы не равны, зн. x2=3 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (−∞,−2⋅32−1+2⋅232] Выпуклая на промежутках [−2⋅32−1+2⋅232,∞)
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=−3 x2=3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x2−9x+1)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 x→∞lim(x2−9x+1)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)/(x^2 - 1*9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(x2−9)x+1)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x(x2−9)x+1)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x2−9x+1=x2−91−x - Нет x2−9x+1=−x2−91−x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной