График функции y = (x+1)/(x^2-9)

       x + 1 
f(x) = ------
        2    
       x  - 9

$$f{\left (x \right )} = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)/(x^2 - 9).
$$\frac{1}{-9 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{9}$$
Точка:

(0, -1/9)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} \left(\frac{8 x^{2} \left(x + 1\right)}{x^{2} - 9} - 6 x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{1}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} \left(\frac{8 x^{2} \left(x + 1\right)}{x^{2} - 9} - 6 x - 2\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{1}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} \left(\frac{8 x^{2} \left(x + 1\right)}{x^{2} - 9} - 6 x - 2\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{1}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} \left(\frac{8 x^{2} \left(x + 1\right)}{x^{2} - 9} - 6 x - 2\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} \left(\frac{8 x^{2} \left(x + 1\right)}{x^{2} - 9} - 6 x - 2\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -2*2**(1/3) - 1 + 2*2**(2/3)]

Выпуклая на промежутках

[-2*2**(1/3) - 1 + 2*2**(2/3), oo)

Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)/(x^2 - 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = \frac{- x + 1}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = - \frac{- x + 1}{x^{2} - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной