График функции y = (x+1)/(x^2-9)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       x + 1 
f(x) = ------
        2    
       x  - 9
f(x)=x+1x29f{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-5050
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x+1x29=0\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
Численное решение
x1=1x_{1} = -1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)/(x^2 - 1*9).
0+1(1)9+02\frac{0 + 1}{\left(-1\right) 9 + 0^{2}}
Результат:
f(0)=19f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{9}
Точка:
(0, -1/9)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2x(x+1)(x29)2+1x29=0- \frac{2 x \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 9} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(2x+(x+1)(4x2x291))(x29)2=0\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2231+2223x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3

limx3(2(2x+(x+1)(4x2x291))(x29)2)=\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty
Возьмём предел
limx3+(2(2x+(x+1)(4x2x291))(x29)2)=\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
x1=3x_{1} = -3
- является точкой перегиба
limx3(2(2x+(x+1)(4x2x291))(x29)2)=\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty
Возьмём предел
limx3+(2(2x+(x+1)(4x2x291))(x29)2)=\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
x2=3x_{2} = 3
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,2231+2223]\left(-\infty, - 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}\right]
Выпуклая на промежутках
[2231+2223,)\left[- 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x+1x29)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 9}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(x+1x29)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 9}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)/(x^2 - 1*9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x+1x(x29))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(x+1x(x29))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x+1x29=1xx29\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = \frac{1 - x}{x^{2} - 9}
- Нет
x+1x29=1xx29\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = - \frac{1 - x}{x^{2} - 9}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (x+1)/(x^2-9) /media/krcore-image-pods/hash/xy/7/f7/5351ee03327da1555f58847381595.png