График функции y = (x+2)*e^(1/x)

Вы ввели

               x ___
f(x) = (x + 2)*\/ E 

$$f{\left (x \right )} = e^{\frac{1}{x}} \left(x + 2\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{\frac{1}{x}} \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 2)*E^(1/x).
$$\frac{2}{e^{\tilde{\infty}}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2 e^{\tilde{\infty}}$$
Точка:

(0, 2*exp(±oo))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

      -1 
(-1, e  )

       1/2 
(2, 4*e   )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1] U [2, oo)

Возрастает на промежутках

[-1, 2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x + 4\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2}{5}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x + 4\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(x + 2\right)\right)\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x + 4\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(x + 2\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2/5, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2/5]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{\frac{1}{x}} \left(x + 2\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{\frac{1}{x}} \left(x + 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 2)*E^(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \left(x + 2\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \left(x + 2\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{\frac{1}{x}} \left(x + 2\right) = \left(- x + 2\right) e^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$e^{\frac{1}{x}} \left(x + 2\right) = - \left(- x + 2\right) e^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной