График функции y = -2*x^2+12*x-16

            2            
f(x) = - 2*x  + 12*x - 16

$$f{\left (x \right )} = - 2 x^{2} + 12 x - 16$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 2 x^{2} + 12 x - 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -2*x^2 + 12*x - 16.
$$-16 + - 0 + 0 \cdot 12$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -16$$
Точка:

(0, -16)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 4 x + 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(3, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3]

Возрастает на промежутках

[3, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$-4 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x^{2} + 12 x - 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{2} + 12 x - 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -2*x^2 + 12*x - 16, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 2 x^{2} + 12 x - 16\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 2 x^{2} + 12 x - 16\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 2 x^{2} + 12 x - 16 = - 2 x^{2} - 12 x - 16$$
- Нет
$$- 2 x^{2} + 12 x - 16 = - -1 \cdot 2 x^{2} - - 12 x + 16$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной