График функции y = -2*x^2+12*x-16

Вы ввели

            2            
f(x) = - 2*x  + 12*x - 16

$$f{\left(x \right)} = - 2 x^{2} + 12 x - 16$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 2 x^{2} + 12 x - 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -2*x^2 + 12*x - 1*16.
$$\left(-1\right) 16 - 2 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -16$$
Точка:

(0, -16)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$12 - 4 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(3, 18 - 16)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[3, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$-4 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x^{2} + 12 x - 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{2} + 12 x - 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -2*x^2 + 12*x - 1*16, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x^{2} + 12 x - 16}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{2} + 12 x - 16}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 2 x^{2} + 12 x - 16 = - 2 x^{2} - 12 x - 16$$
- Нет
$$- 2 x^{2} + 12 x - 16 = 2 x^{2} + 12 x + 16$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График