График функции y = x^3-9*x^2+24*x-15

Вы ввели

        3      2            
f(x) = x  - 9*x  + 24*x - 15

$$f{\left (x \right )} = 24 x + x^{3} - 9 x^{2} - 15$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$24 x + x^{3} - 9 x^{2} - 15 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{5}}{2} + \frac{81}{2}} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{5}}{2} + \frac{81}{2}}} + 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.896196597264$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 9*x^2 + 24*x - 15.
$$-15 + 0^{3} - 0 + 0 \cdot 24$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -15$$
Точка:

(0, -15)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

(2, 5)

(4, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках

(-oo, 2] U [4, oo)

Возрастает на промежутках

[2, 4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$6 \left(x - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(24 x + x^{3} - 9 x^{2} - 15\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(24 x + x^{3} - 9 x^{2} - 15\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 9*x^2 + 24*x - 15, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(24 x + x^{3} - 9 x^{2} - 15\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(24 x + x^{3} - 9 x^{2} - 15\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$24 x + x^{3} - 9 x^{2} - 15 = - x^{3} - 9 x^{2} - 24 x - 15$$
- Нет
$$24 x + x^{3} - 9 x^{2} - 15 = - -1 x^{3} - - 9 x^{2} - - 24 x + 15$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной