График функции y = sqrt(4-4*x-x^2)

Вы ввели

          ______________
         /            2 
f(x) = \/  4 - 4*x - x  

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{- x^{2} + - 4 x + 4}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2 + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2} - 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.82842712474619$$
$$x_{2} = -4.82842712474619$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(4 - 4*x - x^2).
$$\sqrt{- 0 + - 0 + 4}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{- x - 2}{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:

         ___ 
(-2, 2*\/ 2 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2]

Возрастает на промежутках

[-2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- \frac{\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{- x^{2} - 4 x + 4} + 1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- x^{2} + - 4 x + 4} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{- x^{2} + - 4 x + 4} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(4 - 4*x - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{- x^{2} + - 4 x + 4}\right) = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{- x^{2} + - 4 x + 4}\right) = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = i x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 4} = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 4}$$
- Нет
$$\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 4} = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной