График функции y = sqrt(3)*x-3*sqrt(x)+sqrt(3)

Вы ввели

         ___         ___     ___
f(x) = \/ 3 *x - 3*\/ x  + \/ 3 

$$f{\left (x \right )} = - 3 \sqrt{x} + \sqrt{3} x + \sqrt{3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 \sqrt{x} + \sqrt{3} x + \sqrt{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(3)*x - 3*sqrt(x) + sqrt(3).
$$0 \sqrt{3} - 0 + \sqrt{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sqrt{3}$$
Точка:

(0, sqrt(3))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\sqrt{3} - \frac{3}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

        ___ 
      \/ 3  
(3/4, -----)
        4   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[3/4, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 3/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 \sqrt{x} + \sqrt{3} x + \sqrt{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 \sqrt{x} + \sqrt{3} x + \sqrt{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(3)*x - 3*sqrt(x) + sqrt(3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 3 \sqrt{x} + \sqrt{3} x + \sqrt{3}\right)\right) = \sqrt{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \sqrt{3} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 3 \sqrt{x} + \sqrt{3} x + \sqrt{3}\right)\right) = \sqrt{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \sqrt{3} x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 3 \sqrt{x} + \sqrt{3} x + \sqrt{3} = - \sqrt{3} x - 3 \sqrt{- x} + \sqrt{3}$$
- Нет
$$- 3 \sqrt{x} + \sqrt{3} x + \sqrt{3} = - -1 \sqrt{3} x - - 3 \sqrt{- x} - \sqrt{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной