График функции y = x/(x^2-1)+x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         x       
f(x) = ------ + x
        2        
       x  - 1    
f(x)=x+xx21f{\left (x \right )} = x + \frac{x}{x^{2} - 1}
График функции
05-15-10-51015-5050
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x+xx21=0x + \frac{x}{x^{2} - 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/(x^2 - 1) + x.
01+02\frac{0}{-1 + 0^{2}}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x2(x21)2+1+1x21=0- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1 + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = - \sqrt{3}
x3=3x_{3} = \sqrt{3}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

              ___ 
    ___  -3*\/ 3  
(-\/ 3, --------)
            2     

            ___ 
   ___  3*\/ 3  
(\/ 3, -------)
           2    


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x3=3x_{3} = \sqrt{3}
Максимумы функции в точках:
x3=3x_{3} = - \sqrt{3}
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(3)] U [sqrt(3), oo)

Возрастает на промежутках
[-sqrt(3), sqrt(3)]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2x(x21)2(4x2x213)=0\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

limx1(2x(x21)2(4x2x213))=\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)\right) = -\infty
limx1+(2x(x21)2(4x2x213))=\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)\right) = \infty
- пределы не равны, зн.
x1=1x_{1} = -1
- является точкой перегиба
limx1(2x(x21)2(4x2x213))=\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)\right) = -\infty
limx1+(2x(x21)2(4x2x213))=\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)\right) = \infty
- пределы не равны, зн.
x2=1x_{2} = 1
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x+xx21)=\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{x}{x^{2} - 1}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x+xx21)=\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{x}{x^{2} - 1}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(x^2 - 1) + x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x+xx21))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \frac{x}{x^{2} - 1}\right)\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = x
limx(1x(x+xx21))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \frac{x}{x^{2} - 1}\right)\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x+xx21=xxx21x + \frac{x}{x^{2} - 1} = - x - \frac{x}{x^{2} - 1}
- Нет
x+xx21=1xxx21x + \frac{x}{x^{2} - 1} = - -1 x - - \frac{x}{x^{2} - 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной