Точки, в которых функция точно неопределена: x1=−1 x2=1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x+x2−1x=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 Численное решение x1=0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x/(x^2 - 1) + x. −1+020 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная −(x2−1)22x2+1+x2−11=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=−3 x3=3 Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___
___ -3*\/ 3
(-\/ 3, --------)
2
___
___ 3*\/ 3
(\/ 3, -------)
2
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x3=3 Максимумы функции в точках: x3=−3 Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(3)] U [sqrt(3), oo)
Возрастает на промежутках
[-sqrt(3), sqrt(3)]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная (x2−1)22x(x2−14x2−3)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=−1 x2=1
x→−1−lim((x2−1)22x(x2−14x2−3))=−∞ x→−1+lim((x2−1)22x(x2−14x2−3))=∞ - пределы не равны, зн. x1=−1 - является точкой перегиба x→1−lim((x2−1)22x(x2−14x2−3))=−∞ x→1+lim((x2−1)22x(x2−14x2−3))=∞ - пределы не равны, зн. x2=1 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]
Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=−1 x2=1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x+x2−1x)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x+x2−1x)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(x^2 - 1) + x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(x+x2−1x))=1 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=x x→∞lim(x1(x+x2−1x))=1 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x+x2−1x=−x−x2−1x - Нет x+x2−1x=−−1x−−x2−1x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной