График функции y = (2*x^2+5*x)/(x-2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2      
       2*x  + 5*x
f(x) = ----------
         x - 2   
f(x)=2x2+5xx2f{\left (x \right )} = \frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2}
График функции
01-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1-2020
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=2x_{1} = 2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2x2+5xx2=0\frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=52x_{1} = - \frac{5}{2}
x2=0x_{2} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=2.5x_{2} = -2.5
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x^2 + 5*x)/(x - 2).
12(202+05)\frac{1}{-2} \left(2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 5\right)
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
4x+5x22x2+5x(x2)2=0\frac{4 x + 5}{x - 2} - \frac{2 x^{2} + 5 x}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1
x2=5x_{2} = 5
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 1)

(5, 25)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=5x_{2} = 5
Максимумы функции в точках:
x2=1x_{2} = -1
Убывает на промежутках
(-oo, -1] U [5, oo)

Возрастает на промежутках
[-1, 5]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x2(2x(2x+5)(x2)2+48x+10x2)=0\frac{1}{x - 2} \left(\frac{2 x \left(2 x + 5\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} + 4 - \frac{8 x + 10}{x - 2}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=2x_{1} = 2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2x2+5xx2)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(2x2+5xx2)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2 + 5*x)/(x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(2x2+5xx(x2))=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} + 5 x}{x \left(x - 2\right)}\right) = 2
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=2xy = 2 x
limx(2x2+5xx(x2))=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + 5 x}{x \left(x - 2\right)}\right) = 2
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=2xy = 2 x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2x2+5xx2=2x25xx2\frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2} = \frac{2 x^{2} - 5 x}{- x - 2}
- Нет
2x2+5xx2=2x25xx2\frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2} = - \frac{2 x^{2} - 5 x}{- x - 2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной