График функции y = (2*x^2+5*x)/(x-2)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

          2      
       2*x  + 5*x
f(x) = ----------
         x - 2   

$$f{\left (x \right )} = \frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2}$$

Область определения функции

[TeX]

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2.5$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x^2 + 5*x)/(x - 2).
$$\frac{1}{-2} \left(2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 5\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{4 x + 5}{x - 2} - \frac{2 x^{2} + 5 x}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 1)

(5, 25)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1] U [5, oo)

Возрастает на промежутках

[-1, 5]

Точки перегибов

[TeX]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 2} \left(\frac{2 x \left(2 x + 5\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} + 4 - \frac{8 x + 10}{x - 2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

[TeX]

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2 + 5*x)/(x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} + 5 x}{x \left(x - 2\right)}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + 5 x}{x \left(x - 2\right)}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2} = \frac{2 x^{2} - 5 x}{- x - 2}$$
- Нет
$$\frac{2 x^{2} + 5 x}{x - 2} = - \frac{2 x^{2} - 5 x}{- x - 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной