Точки, в которых функция точно неопределена: x1=2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x−22x2+5x=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−25 x2=0 Численное решение x1=0 x2=−2.5
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (2*x^2 + 5*x)/(x - 2). −21(2⋅02+0⋅5) Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная x−24x+5−(x−2)22x2+5x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−1 x2=5 Зн. экстремумы в точках:
(-1, 1)
(5, 25)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=5 Максимумы функции в точках: x2=−1 Убывает на промежутках
(-oo, -1] U [5, oo)
Возрастает на промежутках
[-1, 5]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная x−21((x−2)22x(2x+5)+4−x−28x+10)=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x−22x2+5x)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x−22x2+5x)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2 + 5*x)/(x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(x−2)2x2+5x)=2 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=2x x→∞lim(x(x−2)2x2+5x)=2 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=2x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x−22x2+5x=−x−22x2−5x - Нет x−22x2+5x=−−x−22x2−5x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной