График функции y = x*sqrt(9-x^2)

Вы ввели

            ________
           /      2 
f(x) = x*\/  9 - x  

$$f{\left(x \right)} = x \sqrt{9 - x^{2}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sqrt{9 - x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(9 - x^2).
$$0 \sqrt{9 - 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \sqrt{9 - x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

      ___       
 -3*\/ 2        
(--------, -9/2)
    2           

     ___      
 3*\/ 2       
(-------, 9/2)
    2         

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{9 - x^{2}}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(9 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{9 - x^{2}} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{9 - x^{2}} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sqrt{9 - x^{2}} = - x \sqrt{9 - x^{2}}$$
- Нет
$$x \sqrt{9 - x^{2}} = x \sqrt{9 - x^{2}}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График