График y = f(x) = x*sqrt(9-x^2) (х умножить на квадратный корень из (9 минус х в квадрате)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = x*sqrt(9-x^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
            ________
           /      2 
f(x) = x*\/  9 - x  
$$f{\left(x \right)} = x \sqrt{9 - x^{2}}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sqrt{9 - x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(9 - x^2).
$$0 \sqrt{9 - 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \sqrt{9 - x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
      ___       
 -3*\/ 2        
(--------, -9/2)
    2           

     ___      
 3*\/ 2       
(-------, 9/2)
    2         


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{9 - x^{2}}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(9 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{9 - x^{2}} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{9 - x^{2}} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sqrt{9 - x^{2}} = - x \sqrt{9 - x^{2}}$$
- Нет
$$x \sqrt{9 - x^{2}} = x \sqrt{9 - x^{2}}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График
График функции y = x*sqrt(9-x^2) /media/krcore-image-pods/6/f8/09712675be178d025dcab2c43f5b8.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: