График y = f(x) = 16*x*(x-1)^3 (16 умножить на х умножить на (х минус 1) в кубе) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = 16*x*(x-1)^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                   3
f(x) = 16*x*(x - 1) 
$$f{\left (x \right )} = 16 x \left(x - 1\right)^{3}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$16 x \left(x - 1\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (16*x)*(x - 1)^3.
$$\left(-1\right)^{3} \cdot 0 \cdot 16$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$48 x \left(x - 1\right)^{2} + 16 \left(x - 1\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
      -27  
(1/4, ----)
       16  

(1, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{4}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[1/4, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 1/4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$96 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 1/2] U [1, oo)

Выпуклая на промежутках
[1/2, 1]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(16 x \left(x - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(16 x \left(x - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (16*x)*(x - 1)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(16 \left(x - 1\right)^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(16 \left(x - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$16 x \left(x - 1\right)^{3} = - 16 x \left(- x - 1\right)^{3}$$
- Нет
$$16 x \left(x - 1\right)^{3} = - -1 \cdot 16 x \left(- x - 1\right)^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: