$$f{\left (x \right )} = 16 x \left(x - 1\right)^{3}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$16 x \left(x - 1\right)^{3} = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 1$$ Численное решение $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (16*x)*(x - 1)^3. $$\left(-1\right)^{3} \cdot 0 \cdot 16$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = 0$$ Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$48 x \left(x - 1\right)^{2} + 16 \left(x - 1\right)^{3} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = \frac{1}{4}$$ $$x_{2} = 1$$ Зн. экстремумы в точках:
-27
(1/4, ----)
16
(1, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: $$x_{2} = \frac{1}{4}$$ Максимумов у функции нет Убывает на промежутках
[1/4, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 1/4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$96 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right) = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = \frac{1}{2}$$ $$x_{2} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, 1/2] U [1, oo)
Выпуклая на промежутках
[1/2, 1]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(16 x \left(x - 1\right)^{3}\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(16 x \left(x - 1\right)^{3}\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (16*x)*(x - 1)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(16 \left(x - 1\right)^{3}\right) = -\infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(16 \left(x - 1\right)^{3}\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$16 x \left(x - 1\right)^{3} = - 16 x \left(- x - 1\right)^{3}$$ - Нет $$16 x \left(x - 1\right)^{3} = - -1 \cdot 16 x \left(- x - 1\right)^{3}$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной