График функции y = 2*x/(1-2*x^2)

         2*x   
f(x) = --------
              2
       1 - 2*x 

$$f{\left (x \right )} = \frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x)/(1 - 2*x^2).
$$\frac{0 \cdot 2}{- 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{8 x^{2}}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2}{- 2 x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{8 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 2 x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$

$$\lim_{x \to -0.707106781186548^-}\left(\frac{8 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 2 x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 2.06687543694385 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^+}\left(\frac{8 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 2 x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 2.06687543694385 \cdot 10^{48}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^-}\left(\frac{8 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 2 x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = -2.06687543694385 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^+}\left(\frac{8 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 2 x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = -2.06687543694385 \cdot 10^{48}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Есть:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x)/(1 - 2*x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{- 2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{- 2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1} = - \frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1}$$
- Нет
$$\frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1} = - \frac{-1 \cdot 2 x}{- 2 x^{2} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной