График функции y = 2*x/(1-2*x^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         2*x   
f(x) = --------
              2
       1 - 2*x 
f(x)=2x2x2+1f{\left (x \right )} = \frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1}
График функции
-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.5-2020
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0.707106781186548x_{1} = -0.707106781186548
x2=0.707106781186548x_{2} = 0.707106781186548
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2x2x2+1=0\frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x)/(1 - 2*x^2).
020+1\frac{0 \cdot 2}{- 0 + 1}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
8x2(2x2+1)2+22x2+1=0\frac{8 x^{2}}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2}{- 2 x^{2} + 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
8x(8x22x2+1+3)(2x2+1)2=0\frac{8 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 2 x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0.707106781186548x_{1} = -0.707106781186548
x2=0.707106781186548x_{2} = 0.707106781186548

limx0.707106781186548(8x(8x22x2+1+3)(2x2+1)2)=2.066875436943851048\lim_{x \to -0.707106781186548^-}\left(\frac{8 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 2 x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 2.06687543694385 \cdot 10^{48}
limx0.707106781186548+(8x(8x22x2+1+3)(2x2+1)2)=2.066875436943851048\lim_{x \to -0.707106781186548^+}\left(\frac{8 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 2 x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 2.06687543694385 \cdot 10^{48}
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
limx0.707106781186548(8x(8x22x2+1+3)(2x2+1)2)=2.066875436943851048\lim_{x \to 0.707106781186548^-}\left(\frac{8 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 2 x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = -2.06687543694385 \cdot 10^{48}
limx0.707106781186548+(8x(8x22x2+1+3)(2x2+1)2)=2.066875436943851048\lim_{x \to 0.707106781186548^+}\left(\frac{8 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 2 x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(- 2 x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = -2.06687543694385 \cdot 10^{48}
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0.707106781186548x_{1} = -0.707106781186548
x2=0.707106781186548x_{2} = 0.707106781186548
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2x2x2+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(2x2x2+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x)/(1 - 2*x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(22x2+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{- 2 x^{2} + 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(22x2+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{- 2 x^{2} + 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2x2x2+1=2x2x2+1\frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1} = - \frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1}
- Нет
2x2x2+1=12x2x2+1\frac{2 x}{- 2 x^{2} + 1} = - \frac{-1 \cdot 2 x}{- 2 x^{2} + 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной