График функции y = (21-x^2)/(7*x+9)

Вы ввели

             2
       21 - x 
f(x) = -------
       7*x + 9

$$f{\left(x \right)} = \frac{21 - x^{2}}{7 x + 9}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1.28571428571429$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{21 - x^{2}}{7 x + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{21}$$
$$x_{2} = \sqrt{21}$$
Численное решение
$$x_{1} = -4.58257569495584$$
$$x_{2} = 4.58257569495584$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (21 - x^2)/(7*x + 9).
$$\frac{21 - 0^{2}}{7 \cdot 0 + 9}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{7}{3}$$
Точка:

(0, 7/3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{2 x}{7 x + 9} - \frac{7 \cdot \left(21 - x^{2}\right)}{\left(7 x + 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(\frac{14 x}{7 x + 9} - 1 - \frac{49 \left(x^{2} - 21\right)}{\left(7 x + 9\right)^{2}}\right)}{7 x + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1.28571428571429$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{21 - x^{2}}{7 x + 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{21 - x^{2}}{7 x + 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (21 - x^2)/(7*x + 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{21 - x^{2}}{x \left(7 x + 9\right)}\right) = - \frac{1}{7}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \frac{x}{7}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{21 - x^{2}}{x \left(7 x + 9\right)}\right) = - \frac{1}{7}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - \frac{x}{7}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{21 - x^{2}}{7 x + 9} = \frac{21 - x^{2}}{9 - 7 x}$$
- Нет
$$\frac{21 - x^{2}}{7 x + 9} = - \frac{21 - x^{2}}{9 - 7 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График