$$f{\left(x \right)} = \frac{21 - x^{2}}{7 x + 9}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена: $$x_{1} = -1.28571428571429$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$\frac{21 - x^{2}}{7 x + 9} = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = - \sqrt{21}$$ $$x_{2} = \sqrt{21}$$ Численное решение $$x_{1} = -4.58257569495584$$ $$x_{2} = 4.58257569495584$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (21 - x^2)/(7*x + 9). $$\frac{21 - 0^{2}}{0 \cdot 7 + 9}$$ Результат: $$f{\left(0 \right)} = \frac{7}{3}$$ Точка:
(0, 7/3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$ первая производная $$- \frac{2 x}{7 x + 9} - \frac{7 \left(21 - x^{2}\right)}{\left(7 x + 9\right)^{2}} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$ вторая производная $$\frac{2 \left(\frac{14 x}{7 x + 9} - 1 - \frac{49 \left(x^{2} - 21\right)}{\left(7 x + 9\right)^{2}}\right)}{7 x + 9} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть: $$x_{1} = -1.28571428571429$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{21 - x^{2}}{7 x + 9}\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{21 - x^{2}}{7 x + 9}\right) = -\infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (21 - x^2)/(7*x + 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{21 - x^{2}}{x \left(7 x + 9\right)}\right) = - \frac{1}{7}$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: $$y = - \frac{x}{7}$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{21 - x^{2}}{x \left(7 x + 9\right)}\right) = - \frac{1}{7}$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: $$y = - \frac{x}{7}$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$\frac{21 - x^{2}}{7 x + 9} = \frac{21 - x^{2}}{9 - 7 x}$$ - Нет $$\frac{21 - x^{2}}{7 x + 9} = - \frac{21 - x^{2}}{9 - 7 x}$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной