Точки, в которых функция точно неопределена: x1=−3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x+31(2x2+4x−4)=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−1+3 x2=−3−1 Численное решение x1=0.732050807569 x2=−2.73205080757
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (2*x^2 + 4*x - 4)/(x + 3). 31(−4+2⋅02+0⋅4) Результат: f(0)=−34 Точка:
(0, -4/3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная x+34x+4−(x+3)21(2x2+4x−4)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−4 x2=−2 Зн. экстремумы в точках:
(-4, -12)
(-2, -4)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=−2 Максимумы функции в точках: x2=−4 Убывает на промежутках
(-oo, -4] U [-2, oo)
Возрастает на промежутках
[-4, -2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная x+31(−x+38x+8+4+(x+3)21(4x2+8x−8))=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=−3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x+31(2x2+4x−4))=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x+31(2x2+4x−4))=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2 + 4*x - 4)/(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(x+3)2x2+4x−4)=2 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=2x x→∞lim(x(x+3)2x2+4x−4)=2 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=2x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x+31(2x2+4x−4)=−x+32x2−4x−4 - Нет x+31(2x2+4x−4)=−−x+32x2−4x−4 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной