График функции y = (2*x^2+4*x-4)/(x+3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2          
       2*x  + 4*x - 4
f(x) = --------------
           x + 3     
f(x)=1x+3(2x2+4x4)f{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 3} \left(2 x^{2} + 4 x - 4\right)
График функции
02468-6-4-210-5050
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=3x_{1} = -3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
1x+3(2x2+4x4)=0\frac{1}{x + 3} \left(2 x^{2} + 4 x - 4\right) = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1+3x_{1} = -1 + \sqrt{3}
x2=31x_{2} = - \sqrt{3} - 1
Численное решение
x1=0.732050807569x_{1} = 0.732050807569
x2=2.73205080757x_{2} = -2.73205080757
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x^2 + 4*x - 4)/(x + 3).
13(4+202+04)\frac{1}{3} \left(-4 + 2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4\right)
Результат:
f(0)=43f{\left (0 \right )} = - \frac{4}{3}
Точка:
(0, -4/3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
4x+4x+31(x+3)2(2x2+4x4)=0\frac{4 x + 4}{x + 3} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(2 x^{2} + 4 x - 4\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=4x_{1} = -4
x2=2x_{2} = -2
Зн. экстремумы в точках:
(-4, -12)

(-2, -4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = -2
Максимумы функции в точках:
x2=4x_{2} = -4
Убывает на промежутках
(-oo, -4] U [-2, oo)

Возрастает на промежутках
[-4, -2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x+3(8x+8x+3+4+1(x+3)2(4x2+8x8))=0\frac{1}{x + 3} \left(- \frac{8 x + 8}{x + 3} + 4 + \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(4 x^{2} + 8 x - 8\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=3x_{1} = -3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(1x+3(2x2+4x4))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x + 3} \left(2 x^{2} + 4 x - 4\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(1x+3(2x2+4x4))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x + 3} \left(2 x^{2} + 4 x - 4\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2 + 4*x - 4)/(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(2x2+4x4x(x+3))=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} + 4 x - 4}{x \left(x + 3\right)}\right) = 2
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=2xy = 2 x
limx(2x2+4x4x(x+3))=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + 4 x - 4}{x \left(x + 3\right)}\right) = 2
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=2xy = 2 x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
1x+3(2x2+4x4)=2x24x4x+3\frac{1}{x + 3} \left(2 x^{2} + 4 x - 4\right) = \frac{2 x^{2} - 4 x - 4}{- x + 3}
- Нет
1x+3(2x2+4x4)=2x24x4x+3\frac{1}{x + 3} \left(2 x^{2} + 4 x - 4\right) = - \frac{2 x^{2} - 4 x - 4}{- x + 3}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной