График функции y = -4-(x+1)/(x^2+x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
            x + 1 
f(x) = -4 - ------
             2    
            x  + x
f(x)=x+1x2+x4f{\left(x \right)} = - \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4
График функции
02468-8-6-4-2-1010-5050
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x+1x2+x4=0- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=14x_{1} = - \frac{1}{4}
Численное решение
x1=0.25x_{1} = -0.25
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -4 - (x + 1)/(x^2 + x).
40+102+0-4 - \frac{0 + 1}{0^{2} + 0}
Результат:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
(2x1)(x+1)(x2+x)21x2+x=0- \frac{\left(- 2 x - 1\right) \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} + x} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(1+2x+1x+1(2x+1)2x(x+1))x2(x+1)=0\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{2 x + 1}{x + 1} - \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x+1x2+x4)=4\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4\right) = -4
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=4y = -4
limx(x+1x2+x4)=4\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4\right) = -4
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=4y = -4
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -4 - (x + 1)/(x^2 + x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x+1x2+x4x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(x+1x2+x4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x+1x2+x4=1xx2x4- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4 = - \frac{1 - x}{x^{2} - x} - 4
- Нет
x+1x2+x4=1xx2x+4- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4 = \frac{1 - x}{x^{2} - x} + 4
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = -4-(x+1)/(x^2+x) /media/krcore-image-pods/hash/xy/d/ad/5c4078ef66affeeb937c5c6cbd0ce.png