График функции y = -4-(x+1)/(x^2+x)

Вы ввели

            x + 1 
f(x) = -4 - ------
             2    
            x  + x

$$f{\left(x \right)} = - \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.25$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -4 - (x + 1)/(x^2 + x).
$$-4 - \frac{0 + 1}{0^{2} + 0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{\left(- 2 x - 1\right) \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} + x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{2 x + 1}{x + 1} - \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4\right) = -4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4\right) = -4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -4$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -4 - (x + 1)/(x^2 + x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4 = - \frac{1 - x}{x^{2} - x} - 4$$
- Нет
$$- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4 = \frac{1 - x}{x^{2} - x} + 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График