График функции y = -4-(x+1)/(x^2+x)

            x + 1 
f(x) = -4 - ------
             2    
            x  + x

$$f{\left (x \right )} = - \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.25$$
$$x_{2} = -1$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -4 - (x + 1)/(x^2 + x).
$$-4 - \tilde{\infty}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{\left(x^{2} + x\right)^{2}} \left(- 2 x - 1\right) \left(x + 1\right) - \frac{1}{x^{2} + x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)} \left(2 + \frac{4 x + 2}{x + 1} - \frac{2 \left(2 x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4\right) = -4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4\right) = -4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -4$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -4 - (x + 1)/(x^2 + x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4 = - \frac{- x + 1}{x^{2} - x} - 4$$
- Нет
$$- \frac{x + 1}{x^{2} + x} - 4 = - \frac{x - 1}{x^{2} - x} + 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной