Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=−1
x2=0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
−x2+xx+1−4=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=−41
Численное решение
x1=−0.25
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -4 - (x + 1)/(x^2 + x).
−4−02+00+1
Результат:
f(0)=∞~
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
первая производная
−(x2+x)2(−2x−1)(x+1)−x2+x1=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
вторая производная
x2(x+1)2⋅(1+x+12x+1−x(x+1)(2x+1)2)=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=−1
x2=0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(−x2+xx+1−4)=−4
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=−4
x→∞lim(−x2+xx+1−4)=−4
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=−4
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -4 - (x + 1)/(x^2 + x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(x−x2+xx+1−4)=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
x→∞lim(x−x2+xx+1−4)=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
−x2+xx+1−4=−x2−x1−x−4
- Нет
−x2+xx+1−4=x2−x1−x+4
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной