График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = - \sqrt{3}$$ $$x_{2} = \sqrt{3}$$ Численное решение $$x_{1} = 1.73205080757$$ $$x_{2} = -1.73205080757$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^4 - 2*x^2 - 3. $$-3 + 0^{4} - 0$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = -3$$ Точка:
(0, -3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$4 x^{3} - 4 x = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = -1$$ $$x_{2} = 0$$ $$x_{3} = 1$$ Зн. экстремумы в точках:
(-1, -4)
(0, -3)
(1, -4)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: $$x_{3} = -1$$ $$x_{3} = 1$$ Максимумы функции в точках: $$x_{3} = 0$$ Убывает на промежутках
[-1, 0] U [1, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -1] U [0, 1]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$4 \left(3 x^{2} - 1\right) = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)
Выпуклая на промежутках
[-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 2 x^{2} - 3\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 2 x^{2} - 3\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 2*x^2 - 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{4} - 2 x^{2} - 3\right)\right) = -\infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{4} - 2 x^{2} - 3\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = x^{4} - 2 x^{2} - 3$$ - Да $$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = - x^{4} - - 2 x^{2} + 3$$ - Нет значит, функция является чётной