График функции y = x^4-2*x^2-3

Вы ввели

        4      2    
f(x) = x  - 2*x  - 3

$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 2 x^{2} - 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 2*x^2 - 1*3.
$$\left(-1\right) 3 + 0^{4} - 2 \cdot 0^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -3$$
Точка:

(0, -3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$4 x^{3} - 4 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, -1 - 3)

(0, -1*3)

(1, -1 - 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$4 \cdot \left(3 x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 2 x^{2} - 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 2 x^{2} - 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 2*x^2 - 1*3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 2 x^{2} - 3}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 2 x^{2} - 3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = x^{4} - 2 x^{2} - 3$$
- Да
$$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = - x^{4} + 2 x^{2} + 3$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График